具非线性梯度项的Monge-Ampere方程的大解

The Monge-Ampere equation is one of the most important fully nonlinear partial differential equations. The equation arises from differential geometry and many branches of applied mathematics. We will study the existence, nonexistence, precise asymptotic behaviors near the boundary and uniqueness of (strictly) convex large solutions to the equation with nonlinear gradient terms under the four basic types of the nonlinear term, here the weight which is positive in the domain, but may be vanishing or proper singular on the boundary, the domain is a strictly convex, bounded smooth domain. In particular, We want to describe how they affect precise asymptotic behaviors of (strictly) convex large solutions near the boundary that the four factors which are weight, gradient terms, nonlinear terms and the principal curvatures of the boundary in the Karamata regular variation theory framework.

Monge-Ampere (蒙歌-安培) 型方程是一类非常重要的完全非线性偏微分方程, 是几何分析中的基本方程, 同时在多复变函数、应用数学的几个领域，诸如最优运输问题(包括质量转移问题)、变分估计问题等等方面具有重要的应用. 本课题主要研究具非线性梯度项的解在边界blow-up的Monge-Ampere 型方程(严格)凸解的存在性、不存在性、解在边界附近的精细渐近行为和解的唯一性. 这里的区域是有界光滑(严格)凸区域, 非线性项具有四种基本类型；系数在区域内是正的, 并且允许在边界上为零或具有适当的奇性. 特别, 在karamata正规变化理论的框架下, 我们要刻画出边界的主曲率、变系数、非线性项和梯度项如何影响解在边界附近的精细渐近行为.

该项目深入系统地研究了解在边界blow-up的Monge-Ampere方程四种基本类型(严格)凸解的存在性、不存在性、解的全局最优渐近行为、解在边界附近的最优渐近行为、解的正则性以及当权函数中的参数趋于其临界值时,解的精确渐近行为和解的唯一性.揭示了边界的(n-1)阶主曲率、非线性梯度项、非线性项和权函数四者如何影响解的渐近行为.1.首次给出并完全刻画了非线性项在无穷远处的结构条件(非线性项在无穷远处变化的统一指数,包含非线性项在无穷远处变化的全部三种类型：临界变化(非线性项在无穷远处变化以指数等于空间维数n标准正规变化)、迅速变化和以大于空间维数n的指数标准正规变化.).权函数允许在边界为0或具有适当的奇性(包括临界奇性),应用摄动方法、Karamata正规变化理论和比较原理,结合严格凸区域上边界曲面的主曲率和距离函数的性质,构造了新的恰当的严格凸上下解,得到了严格凸解在边界附近统一的最优渐近行为和解的唯一性.2.首次给出并完全刻画了非线性项在无穷远处、0处和负无穷远处变化的三种新的指数,权函数允许在边界为0或具有适当的奇性(包括临界奇性),不仅得到了解在边界附近的最优渐近行为.而且,对基本而典型的两类权函数,我们还得到了解的整体最优渐近行为.并且,当权函数变化的指数趋于临界指数时,我们分别研究了解随着这样的参数变化的精确渐近行为.同时,当非线性项不满足Keller-Osserman型的条件,区域是球域时,给出了解存在的充分必要条件(权函数在边界附件具有比较高的奇性).当非线性项在无穷远处以临界指数n标准正规变化且具有低阶项时,我们给出并完全刻画了低阶项在无穷远处的结构条件,得到了低阶项对解在边界附近的渐近行为的精确影响;揭示了这种情形完全不同于非线性项在无穷远处以大于n的指数标准正规变化的情形(对后者低阶项没有影响).3.在有界光滑严格k凸的区域上,我们研究了更广泛的Hessian方程相应的问题,得到了严格k凸解在边界附近统一的最优渐近行为和唯一性.该项目在国际SCI核心期刊发表相关论文12篇,其中顶级学术期刊J. Functional Analysis、J. Differential Equations上.