Poisson流形上的修正Hamilton方法

This project aims to apply the idea of modified Hamiltonian method to study the stabilization of equilibria and relative equilibria of optimal reducible Hamiltonian mechanical systems. First of all, a theorem will be proved, which shows that when the feedback controls given by modified Hamiltonian method on symplectic manifold were added to Hamiltonian systems on Poisson manifold, the equilibria will be stable or weak asymptotically stable. Besides, the modified Hamiltonian method will be generalized to adapt to the Hamiltonian systems on Poisson manifolds, the construction method for the feedback control laws will be given. These control laws can asymptotically stabilize the equilibria of the system. Last, the stabilization of relative equilibria of optimail reducible Hamiltonian systems will be considered. The construction method for the feedback control laws will be given.

本项目旨在推广修正Hamilton方法到一般Poisson流形上Hamilton系统，以研究其平衡点以及优化约化下相对平衡点的稳定化问题。首先证明Poisson流形上Hamilton系统的平衡点在使用经典的辛流形上的修正Hamilton方法稳定化时，系统的平衡点不是渐近稳定的，而是稳定的或弱渐近稳定的。在此基础之上，对修正Hamilton方法进行改进，使其可应用于Poisson流形上的Hamilton系统，以给出渐近稳定化系统平衡点的反馈控制律的构造方法和相应的条件。最后，将上述结果与优化约化理论相结合，给出Poisson流行上对称的Hamilton系统的相对平衡点的稳定化和渐近稳定化反馈控制律的构造方法和相应的条件。

本项目主要研究了修正Hamilton方法在一般Poisson流形上Hamilton系统的推广，讨论了系统的平衡点以及优化约化下相对平衡点的稳定化问题。项目的研究成果主要包括如下两方面内容。首先，将修正Hamilton方法推广到了Poisson流形上的Hamilton系统,得到了使系统的平衡点弱渐近稳定的反馈控制率的构造方法和相应的条件。在此基础之上，讨论了优化约化下系统相对平衡点的稳定化方法,给出了使得相对平衡点渐近稳定的反馈控制率的构造方法和相应的条件。其次，研究了包括刚体和Lagrange陀螺等具体系统的优化约化，给出了相应的约化系统的具体的局部坐标表示，这本身是优化约化理论在实际应用环节的一个完善，同时为我们给出推广的修正Hamilton方法的实际应用的例子提供了必要的基础。