Poisson上同调及其在形变理论中的应用

Poisson代数的研究源于Poisson几何。随着近年来非交换几何的发展，代数学家们从不同角度定义了各种版本的非交换Poisson代数，本课题所研究的非交换Poisson代数是由P.Xu于1994年引入的。从代数表示理论的角度，研究一种代数结构的重要方法就是研究该代数对象的模结构。最近，两种Poisson代数的模范畴被证明为与相应Poisson包络代数上的模范畴等价，这一理解使得我们能够很自然地从代数表示理论的角度来构建Poisson代数的上同调理论。进一步，我们将计算一些特殊的非交换Poisson代数的（拟）Poisson上同调群，从而揭示（拟）Poisson上同调与Poisson结构之间的关系；另一方面，类似于一般结合代数上的Hochschild上同调群，我们将研究Poisson上同调在Poisson代数形变理论中的应用。

Poisson代数的研究源于Poisson几何，且传统的Poisson代数被认为是交换的。随着非交换几何的发展，非交换Poisson代数得到了广泛的研究。本项目主要研究非交换Poisson代数的上同调理论及其在形变理论中的应用。首先，我们通过构造Grothendieck谱序列，计算了几种重要代数类的各阶拟Poisson上同调群，并发现了这种拟Poisson上同调群在后面的Poisson上同调群的计算中有着重要作用。其次，我们从导出函子角度定义了Poisson上同调群，详细讨论了Poisson上同调群与Poisson代数三种形变理论的关系。再次，给出了一个涉及Poisson上同调群，拟Poisson上同调群与Lie代数上同调群的长正合列。最后，我们建立了形式形变与形变量子化的关系，并给出了形变量子化存在的一个必要条件。作为本项目的拓展问题，我们研究了更广泛的一种代数结构——Leibniz Pair. 引入了Leibniz Pair的泛包络代数，并证明了Leibniz Pair上同调群是一种Yoneda-Ext群。