Orlicz-Sobolev空间的点态结构与Modulo方法

In Orlicz-Sobolev space we try establish Modulo method. First, investigating locally geometric behaviour by M-method, we try to give sufficient and necessary conditions for the extreme point, weak\weak*\uniformly rotund point, strong\smooth point, strong\exposed point and related structures, using the generating function characters. Secondly, establishing Orlicz-Sobolev settings for ecliptic, parabolic and hyperbolic partially differential equations respectively, we try to investigate the posedness of equations by Modulo method.

在Orlicz-Sobolev空间理论研究中，建立Modulo方法。以此为‘抓手’，研究自然模范数下Orlicz-Sobolev空间的局部结构。争取用生成函数给出端点、弱\弱*\一致凸点、强\光滑点、强\暴露点等点态结构及关联几何结构的充分必要条件。建立Orlicz-Sobolev Modulo度量分析法，分别针对椭圆型、抛物型和双曲型偏微分基本方程讨论方程解的适定性。

联系偏微分方程的Orlicz-Sobolev框架中的Modular方法，联系“好用”的Orlicz模范数，研究了框架的紧性结构及基础“刚性”结构。给出了紧性构造的生成表达及凸性结构等多种刻画，提供了便于应用的判别法。.紧性结构是空间框架中基本且便于使用的结构。Brouwer在紧集上建立的不动点定理被誉为20世纪五大数学成就之一，带动了诸多领域的诞生兴起与蓬勃发展。本课题组成员研究了一类弱紧集，分别给出了好用的共轭式，生成模（Modular）,超级模三种形式的充分必要判别法。对关联于紧性结构的Dunford-Pettis集，给出了两类Dunford-Pettis集的充分必要刻画。.刚性凸结构是赋范空间的支柱结构。其中诸如严格凸性，一致凸性，及其精细的局部化等在非混沌化、抗扰动及局部精细分析中发挥着举足轻重的作用。课题组在一类向量值框架下，给出了一致非方点的充分必要刻画及连续线性泛函的Riesz型表示；给出了K性质的充分必要刻画；在向量值Orlicz空间框架下，给出了I凸，Q凸及O凸性质的充分必要刻画；给出了非l_1^n与一致l_1^n的充分必要刻画及相应的点态精细表示；Lorenz框架是一类可以自动权重衡平空间结构，具有常规框架无法比拟的优势。课题组成员在权重自动衡平的赋Orlicz范数的向量值Orlicz函数空间下，分别给出了一致正规结构与一致非方的充分必要刻画。.继Hilbert空间后，Riesz空间在解决多项式型非线性问题中发挥了出色的作用。但对解决非多项式非线性问题却力不从心。应此需要，Orlicz空间的出现为解决相当多的非线性问题提供了有力的工具。但Orlicz空间框架依赖于Young,Jen及Minkowski基本型不等式的建立。本课题组对相当广泛的Orlicz函数圆满地解决了此问题。