广义正交性及其在几何扩张问题中的应用

鉴于欧氏平面上的几何扩张使用的欧氏距离不能很好地满足某些实际应用的要求，将几何扩张问题推广到一般的Minkowski空间（亦即实有限维Banach空间）中。从研究Minkowski空间中等腰正交和Birkhoff正交的差别和联系入手，通过推广欧氏平面上装球问题的相关结论、探讨在Minkowski平面上构造Zindler曲线以及几何扩张充分小的简单图的一般方法，计算Minkowski平面上能够嵌入任何有限点集的几何扩张值的下确界。阐明闭凸曲线的最大和最小平分弦长与此类曲线相关凸几何特征之间的数量关系。在几何扩张相关问题的推动下，研究赋范线性空间中其他不同广义正交性之间的区别和联系，丰富Minkowski几何中与几何扩张和正交性密切相关的结果。相关成果可以用于指导城市的规划或重建，对Minkowski几何理论的丰富和发展也有重要意义。

本项目的工作针对两个问题. 其一是如何构造一个几何扩张足够小的简单平面图? 其二是: 赋范线性空间中各种广义正交关系的性质如何, 不同广义正交关系之间的关系如何, 它们的性质以及它们之间的关系同空间性质之间的联系又如何？我们首先利用一条可求长曲线的中点曲线, 该曲线的平分弦变换以及赋范线性空间中的等腰正交和Birkhoff正交给出了在赋范平面上的几何扩张问题中扮演重要角色的Zindler曲线的特征性质. 鉴于等腰正交和Birkhoff正交在刻画Zindler曲线中的作用和它们之间复杂的关系, 我们讨论了等腰正交的唯一性并得到关于该问题的最佳结论; 引入等腰正交的齐次方向的概念并利用这个概念取代等距反射向量得到了内积空间新的特征性质; 引入了等腰正交非齐次性的度量, 给出了该度量的上下界, 证明该度量当且仅当所在空间不是一致非方时达到上界, 当且仅当所在空间是内积空间时达到下界; 引入Birkhoff正交与Roberts正交的差异的度量, 估计了该度量的取值范围, 得到了它达到上下界的充要条件, 阐明了该度量与凸性模等几何常数之间的关系; 类似的, 我们还通过引入毕达哥拉斯正交的齐次方向的概念和毕达哥拉斯正交非齐次性的度量来研究毕达哥拉斯正交的非齐次性及其与所在空间的几何性质之间的关系. 其次, 研究了赋范平面上的度量椭圆和Cassini曲线这两类特殊的平面曲线. 对于度量椭圆, 我们利用平面凸体在Hausdorff距离下构成的距离空间的相关性质改进了由度量椭圆刻画的内积空间的特征性质. 对于Cassini曲线, 我们分情况描述了它们的形状随着相关参数的变化而变化的规律; 利用有关等腰正交, Birkhoff正交, 平分集和上下半内积的已有结果和新的结论给出了Cassini曲线的几何性质与空间几何性质之间的关系.