有限维Banach几何与关于凸体覆盖的Hadwiger猜想

By regarding a centrally symmetric convex body in a finite dimensional Euclidean space as a ball of a certain finite dimensional Banach space, we introduce ideas, methods, and tools from Banach Geometry concerning the covering of unit ball and unit sphere, quantitive geometry, Banach-Mazur distance between spaces, basis and orthogonality types in Banach spaces into the study of Hadwiger's covering conjecture, which is from Convex Geometry and has lasted almost 60 years, and we aim to solve this conjecture for the case of centrally symmetric convex bodies completely. We attempt to achieve essential progress in the study of general case of this conjecture by applying methods and tools from Convex Geometry concerning facial structure of convex bodies, covering and illuminating of convex bodies, Banach-Mazur distance between convex bodies, Helly dimension of convex bodies, special convex bodies especially convex polytopes. Key research problems include finding special Auerbach basis in finite dimensional Banach spaces, estimating upper bounds of the covering number and the covering functional of convex bodies, estimating the Banach-Mazur distance between special convex bodies, solving the conjecture proposed by Zong Chuanming on the blocking number of convex bodies, and reducing the original Hadwiger's conjecture to the case for convex polytopes.

通过视有限维欧氏空间中中心对称的凸体为有限维Banach空间中的球,将Banach几何中关于单位球和单位球面的覆盖、数量几何、空间的Banach-Mazur距离、Banach空间中的基和广义正交的思想方法及工具引入到关于凸体覆盖的Hadwiger猜想这一源于凸几何并持续了近60年的公开难题的研究中,并致力于完全解决该猜想关于中心对称凸体的情形.利用凸几何中关于凸体的表面结构、凸体的覆盖和照亮、凸体间的Banach-Mazur距离、凸体的Helly维数、特殊的凸体特别是凸多面体的方法和工具,通过多种不同方案尝试在该猜想一般情形的研究中取得实质性进展.需要解决的关键科学问题包括在有限维Banach空间中寻找满足特殊性质的Auerbach基、估计凸体覆盖数和覆盖泛函的上界、估计特殊凸体之间的Banach-Mazur距离、解决宗传明关于凸体遮挡数的猜想及将Hadwiger猜想递归到凸多面体的情形.

本项目利用Banach空间理论特别是有限维Banach几何和广义正交理论重点研究了n维欧氏空间R^n中关于凸体覆盖的Hadwiger猜想 (简称为 (H) 猜想) 这一来自于凸几何, 离散几何和组合几何的交叉领域的持续了60余年的公开难题. 给出了 (H) 猜想的两个等价表示; 利用引入凸体的广义alpha遮挡数的概念给出了中心对称凸体覆盖数上界的更好估计, 给出了克服中心对称凸体覆盖数的上半连续性的一个可行办法; 刻画了中心对称凸体照亮冠的若干几何性质, 给出了与之相关的内积空间的若干特征性质; 给出了l_\infty^n和l_1^n空间的若干特征性质并讨论了这些特征性质的稳定性; 得到了n维凸体覆盖泛函取值为1/2的充要条件, 给出了平面中心对称凸体覆盖泛函的精确表示, 得到了中心对称凸体覆盖泛函取值的一般估计, 取得了其他几类特殊凸体覆盖泛函取值的估计; 给出了凸体边界的覆盖泛函的定义和基本性质, 得到了平面凸体边界的覆盖泛函取值的精确表示; 给出了中心对称凸体边界的覆盖泛函的一般估计. 鉴于 (H) 猜想关于中心对称凸体的特殊情形与有限维Banach几何之间的天然联系, 刻画了毕达哥拉斯正交的圆唯一性; 证明了等腰正交的齐次方向与几乎齐次方向等价; 解决了有关反转Birkhoff正交的线性算子的一个公开问题; 并利用I-向量, P-向量, IP-向量等概念改进了前人在Banach-Mazur旋转问题方向由等距反射向量给出的Hilbert空间的特征性质. 在赋范线性空间中的完备集方向, 纠正了前人关于完备集和不可缩集之间关系的一个错误叙述并促使同行学者开始考虑赋范线性空间中既完备又不可缩的凸集是否是常宽集这一困难问题; 给出了将赋范线性空间中的有界集完备化的若干方法; 得到了有界集与它的宽球包的边界和紧球包的边界之间的关系. .本项目在相关方向发表学术论文22篇, 其中16篇被SCI检索, 7篇论文为与国外学者合作完成; 项目组2名成员获黑龙江省科学技术二等奖1项; 2名成员博士后出站, 1名成员取得博士学位, 7名参与本项目的研究生取得硕士学位; 项目组承办了 "第五届分析数学及其应用国际学术会议", 1名成员受德国DAAD基金会资助赴德合作研究1人次; 在国内举办的学术会议做学术报告6次; 成立了哈尔滨理工大学 "凸性及其应用研究所".