正迷向曲率流形上Ricci流的奇点分析

In differential geometry, how to understand the topology of a given manifold under certain curvature conditions is a central topic. In the past 30 years, a powerful tool to study this subject is Ricci flow. With the development of the Ricci flow theory, many important geometric problems can be solved, which also promoted the vigorous development of differential geometry. Using the Ricci flow theory to solve geometric problems, the key is to get the structure of singularities, which requires us to analyze the singularity of Ricci flow, one important step is to complete classify gradient Ricci solitons, which are the important models of singularities. On the other hand, compact Riemannian manifolds with positive isotropic curvature have a rich geometric and topology information, to study such kind of manifolds is a hot international issue. In this project, we will use Ricci flow to study such kind of manifolds, focus on analyze the structure of singularities. We look forward to learn more about the geometric properties, including some important curvature pinching estimates, then we try to complete classify the corresponding type of solitons. Furthermore, the complete classification of solitons will help us to understand the structure of the singularity well, thus the classification of manifolds with positive curvature.

在微分几何中，怎样在一定的曲率条件下去了解给定流形的拓扑一直是一个中心的课题。近三十年来，研究这个课题的一个强有力的工具就是Ricci流。随着Ricci流理论的发展，许多重要的几何问题得以解决，这也极力地推动着微分几何的蓬勃发展。运用Ricci流理论去解决几何问题的一个关键，就是得到奇点的结构，这就要求我们去分析Ricci流的奇点，其中重要的一步就是完全分类梯度Ricci soliton这一重要的奇点模型。另一方面，具有正迷向曲率的紧致黎曼流形具有丰富的几何和拓扑信息，这类流形的研究在国际上一直是一个热点问题。在本项目中，我们主要是通过Ricci流去研究这类流形，着重分析奇点的结构。我们期望能更多的了解其几何性质，包括得到重要的曲率拼挤估计，并以此为基础，完全分类对应类型的soliton。更进一步，soliton 的完全分类会帮助我们了解奇点的结构，进而得到具有正迷向曲率的流形的分类。

了解给定流形的几何性质和拓扑结构，是微分几何的核心问题。在本项目中，我们运用Ricci流理论来研究具有正曲率的流形，特别是具有正迷向曲率的流形。具体地，我们分析高维流形上的Hamilton-Ivey拼挤估计，四维Einstein流形和收缩梯度soliton的几何性质和分类问题，取得了一定的成果。（1）高维流形的Ricci流理论：我们考虑了高维流形上的Hamilton-Ivey 拼挤估计，证明了恒具有零Weyl张量的高维流形上Hamilton-Ivey 拼挤估计成立。该结果发表在J. Math. Anal. Appl. 426(2015)中。这个重要估计的进一步几何应用的研究正在进行当中。（2）四维Einstein流形的分类问题：我们分析了截面曲率有恰当的上界的Einstein流形，证明了其上截面曲率一定非负。进一步，我们分类了一族截面曲率非负且有上界的Einstein流形。该结果体现在我们的文章Four-dimensional Einstein manifolds with sectional curvature bounded from above (submitted)中。（3）四维收缩梯度soliton的间隙现象：我们考虑了具有非负Ricci曲率的四维收缩梯度soliton，如果其Weyl张量满足一个曲率估计，那一个间隙现象会发生。一些例子表明，我们的这个结果是最优的。该结果体现在我们的文章A gap theorem of four-dimensional gradient shrinking solitons (submitted)中。（4）四维收缩梯度soliton的分类问题：收缩梯度soliton的分类一直是一个重要的课题。如果soliton的Weyl张量满足一个曲率估计，我们证明了其具有非负迷向曲率，从而我们分类了该类soliton。该结果体现在我们的文章Four-dimensional gradient shrinking solitons with pinched curvature (submitted)中。