曲率流下soliton的几何性质与应用

在几何中，怎样在一定的曲率条件下去了解给定流形的拓扑一直是一个中心的课题。近三十年来，研究这个课题的一个强有力的工具就是曲率流。用曲率流来研究流形的几何与拓扑问题，得到了一系列重要的成果，这也极力地推动着微分几何的蓬勃发展。运用曲率流理论去解决几何问题的一个关键，就是对soliton的理解及其在理解奇点结构中的应用。因此，对soliton的研究在国际上是一个热点问题。在本项目中，我们将研究曲率流下的soliton的几何性质，着重考虑某种类型的soliton的分类问题。更进一步，soliton 的完全分类会帮助我们去了解曲率流下黎曼流形的奇点结构，进而得到某种曲率条件下流形的分类。

在本项目中，项目组成员基本围绕项目申请书的主要内容，并按照项目申请书中的工作计划有效地开展了研究工作，对项目申请书中提出的问题及一些相关的问题开展了有效的系统的研究。同时，根据国际上的最新进展，我们还组织讨论班进行系统的学习。通过了解Ricci流下曲率的变化情况，我们得到了一定的结果，具体如下：（1）关于三维流形的Ricci理论：我们考虑了三维的完备非紧黎曼流形，证明了一个很广泛的曲率估计，该估计的重要之处在于我们不需要假设流形上具有整体的有界曲率。特别的，我们得到Ricci曲率和截面曲率的非负性在Ricci流下是保持的，进而我们证明了一个Ricci流的强唯一性定理。另外，我们还证明了一个局部化的Hamilton-Ivey估计。这些结果体现在我们的文章 Local pinching estimates in 3-dim Ricci flow （submitted）中。（2）关于soliton的分类：我们考虑了具有正的有界曲率算子的收缩梯度soliton的分类。通过观察一些曲率的变化，在低维情形下我们得到了一定的结果，高维情形的研究还在进行中。