完备非紧流形上的Ricci流

Ricci flow is one of the most important tools in geometric analysis. For its potential geometric applications, Ricci flow on complete noncompact manifolds received more and more attention from experts. In the current stage, the short-time existence of Ricci flow on complete noncompact manifolds is still not well-understood. This project will study the existence and potential applications of Ricci flow on complete noncompact manifolds. We will focus on the existence of Ricci flow on manifolds with certain nonnegative curvature conditions while allowing them to be collapsed. The purpose of this project is to deepen our understanding of fundamental properties of Ricci flow on complete noncompact manifolds and discover its geometric applications, we will try to provide technical tools and methods for the study of these manifolds.

Ricci流是几何分析中最重要的工具之一。完备非紧流形上的Ricci流具有潜在的几何应用，因此受到了学术界越来越多的重视。在当前阶段，非紧Ricci流的短时间存在性仍然是一个有待深入研究的问题。本项目以完备非紧流形上Ricci流的存在性与应用为研究内容。项目的主要关注点是满足某些非负曲率条件、但可能存在体积坍塌的非紧流形上Ricci流的存在性。本项目旨在深入理解完备非紧流形上Ricci流的基本性质并挖掘其几何应用，为这类流形的研究提供技术工具与方法。

Ricci流是几何分析中的重要工具和研究内容，在三维流形的几何化猜想等重大数学问题的解决中起到了关键的作用。近年来，许多专家致力于将紧致无边流形上的Ricci流推广到完备非紧流形，或者用类似Ricci流的几何流方法解决问题。本项目研究了具有PIC1曲率条件的完备黎曼流形上的Ricci流，并且作为应用证明了具有欧氏体积增长率的完备PIC1流形一定微分同胚于欧氏空间。这一结果使我们对流形的拓扑与曲率条件之间的关系有了更多的认识。本项目同时研究了与Ricci流相关的一些有趣的问题，包括Spinor流、热方程等，并取得了一些进展。我们改进了完备流形上热方程的唯一性的判别法则，其中的证明方法可以用在其他抛物方程的研究中。我们发现了Spinor流与一个耦合的Ricci流系统之间的等价关系，并得到了这个流的正则性估计，为这个几何流的进一步研究和应用奠定了基础。通过本项目的研究，我们对完备流形上包括Ricci流在内的抛物方程及其几何应用有了更多的理解。