关于表示稳定性理论中范畴的表示与同调性质研究

The representation stability theory investigates asymptotic behaviors of homology groups of topological spaces X_n, which are naturally representations of symmetry groups G_n, and hence generalizes the classical homological stability theory. In 2012, with the introduction of representations of category FI, representation stability theory was categorified. Afterward, a series of infinite combinatorial categories have been introduced. Exploring asymptotic behaviors of representations of these categories over commutative Noetherian rings, has become the prominent problem of representation stability theory...The proposed project aims to systematically investigate the above infinite combinatorial categories via an algebraic representation approach, and obtain explicit descriptions of their representational and homological properties as well as quantitative estimates of important invariants. Specifically, we plan to acquire criteria of Noetherian property and use them to show the local Noetherianity of these categories, obtain upper bounds of homological degrees and Castelnuovo-Mumford regularity, explore computational machinery and finitely generated property of locally cohomology groups, and consider the growth behavior of Hilbert functions...Through this project we can not only establish some fundamental results for representation theory of these categories and answer a few important conjectures and open questions in representation stability theory, but also find numerous applications in algebraic topology, geometric group theory, and algebraic geometry.

表示稳定性理论考察拓扑空间X_n的同调群作为对称性群G_n表示的渐近行为，推广了经典的同调稳定性理论。2012年，通过引入范畴FI的表示，表示稳定性理论获得范畴化。此后，一系列具有类似结构的无限组合范畴被引入。目前表示稳定性理论的中心课题就是研究这些范畴基于一般交换诺特环上表示的渐近行为。..本项目拟运用代数表示论方法考察表示稳定性理论中无限组合范畴，获得其表示与同调性质的清晰描述及一些重要不变量的定量估计。具体地，我们将探讨诺特性判别标准并证明上述范畴的局部诺特性，寻找表示同调度及Castelnuovo-Mumford正则度的上界估计，探索局部上同调群的计算机制并证明其有限生成性质，研究Hilbert函数的增长。..本项目研究可为这些范畴的表示理论建立若干基础结果，解决表示稳定性理论中一些重要猜想和公开问题，在代数拓扑、几何群论、代数几何等其他分支也有较多应用。

表示稳定性理论考察拓扑空间X_n的同调群作为对称性群G_n表示的渐近行为，推广了经典的同调稳定性理论。2012年，通过引入范畴FI的表示，表示稳定性理论获得范畴化。此后，一系列具有类似结构的无限组合范畴被引入。目前表示稳定性理论的中心课题就是研究这些范畴基于一般交换诺特环上表示的渐近行为。..本项目通过代数表示论途径系统考察表示稳定性理论中若干重要的无限组合范畴的表示与同调性质，为这些范畴的表示理论建立了若干基础性结论，获得了其表示与同调性质的清晰描述及一些重要不变量的定量估计，包括：局部诺特性，表示同调度及Castelnuovo-Mumford正则度的上界估计，局部上同调群的计算机制及有限生成性质，Hilbert函数的增长性质等。..通过本项目研究，我们为一系列重要无限组合范畴建立了系统的的表示理论，解决了表示稳定性理论中一些重要猜想和公开问题，在代数拓扑、几何群论、代数几何等其他分支也取得了一些重要应用。