局部范畴与同调表示

Given a finite group, we may associate to it many finite categories, called local categories of G. We shall consider all possible local categories, and regard them as generalized groups. We shall study their representations, and, as an application, use them to investigate group representations. Our research is motivated by new methods for constructing the Steinberg module and the Alvis-Curtis duality. We believe that local categories behave like finite groups of Lie type. They have an interesting representation theory, relying on the intrinsic structure of categories, and it is possible to fully exploit it. Our research is based on several tensor triangulated categories over local category algebras. We shall examine their Grothendieck rings, which generalizes the (ordinary and Brauer) character ring of a group algebra, because they afford various homology representations. We intend to apply Balmer's tensor triangular geometry theory to study the above tensor categories and their K-theory.

给定有限群,我们能够定义各种有限范畴，称之为G的局部范畴。我们将考虑所有局部范畴，把它们看作是广义的群。我们要研究它们的表示，并考虑这套理论在群表示中的应用。本研究起源于构造Steinberg模及Alvis-Curtis对偶的新方法。我们有理由认为局部范畴类似于有限李型群。它们有非常有意义的表示理论，而这主要依赖于它们的内在结构。我们将发展一套系统的理论。本研究将从局部范畴代数上的各类张量三角范畴出发，考虑它们的Grothendieck环，而后者是群代数的特征标环的推广。这个环里包含了各种各样的同调表示。除了经典的方法以外，我们还将尝试使用Balmer的张量三角几何理论去研究这些三角范畴，以及它们的K理论。

在有限群表示中，存在各种各样的有限范畴，统称局部范畴。它们在群结构、群表示、群上同调等理论起着根本性作用，是群论、模表示理论和同伦论的研究热点之一。本项目的主要研究内容分为三部分：1、局部范畴的一般表示理论；2、范畴表示与群表示的关系；3、相关有限维代数、模复形和三角范畴的研究。本项目执行期间，受资助发表论文12篇，被《中国科学:数学》、Adv Math、J Algebra等期刊出版；项目组成员应邀在China-US Group Theory Summit (San Marcos)、第八届国际表示论会议（哈尔滨）和Representation Theory of Quivers and Finite Dimensional Algebras (Oberwolfach)等国内外重要会议上，以大会报告形式汇报了有关成果。. 设G为有限群、P为有限G-偏序集。我们考虑传输范畴P*G及其商范畴C。这些范畴统称G的局部范畴。给定系数环R，C的R-表示为从C到Mod-R的反变函子，即R-模预层。当C=G时，这就是经典的群表示，即RG-模。本项目首先将局部范畴看作广义的群，建立了一个一般表示论框架。特别是对于传输范畴P*G，我们建立了一套顶与源理论，获得了一个广义Mackey公式，证明了广义的Brauer第一基本定理。我们还定义了块的亏范畴和主块的概念。 其次，受到李型有限群的Alvis-Curtis对偶启发，本项目探讨了一般有限群的同调表示。这些表示定义在有限RG-模复形上，与三角范畴理论联系紧密。这些构造主要使用到传输范畴及其商范畴：轨道范畴。我们利用轨道范畴给予Alvis-Curtis对偶一个新的内蕴构造。最后，对于一般范畴代数、三角范畴和倾斜理论，项目组在Cartan有限型范畴代数、加权射影直线的凝聚层范畴开展了研究，特别是对HRS倾斜证明了若干等价条件，统一了几个经典结果。. 在对范畴表示（即预层）的研究中，我们发现表示往往满足额外的粘接性质。在局部范畴上引入合理的Grothendieck拓扑后，关键的预层自然成为层。对于一般有限群，我们已经找到一族有限范畴，并证明其上层范畴等价于RG-模范畴。层论来源几何与拓扑，需要大量前置知识。本项目的后期工作做了充分准备，为研究层论在群表示中的应用奠定了基础，是我们下一阶段工作目标。