范畴化表示论：融合系统与2-表示

It is well-known that the long established theory, finite group and its representation theory, is an activated field. With the development, the geometrification and categorification are more and more important in all of branches of mathematical science which is the new trend in the modern research. In this project, we focus on the categorification of finite group theory and its representation: fusion system and 2-representation. Though both of the two topics are emerging areas of mathematics, many experts in different areas have pay much more attention to them and many articals on these topics are published in the top-level mathematical journals. In the project, we will try to study these systematically to improve the foundations of these theories. We also consider their applications to the investigation of main conjecturs in modular representation theory. This project involves category theory, group theory, representation theory, homotopy and differential topology. So there is no doubt that this project will give positive reaction on these areas.

有限群及其表示论是一门有着悠久历史，同时又充满活力的学科。随着现代数学的发展，几何化和范畴化的思想在数学的各个领域得到越来越多的重视，代表了数学发展的方向和趋势。在这样一个大的背景下，本项目主要研究有限群及其表示理论的范畴化，具体表现在两个方面的探讨上：融合系统和2-表示。上述两个方向，虽然都是新兴的研究领域，但是最近几年受到了国际上来自不同领域的专家的共同关注，特别是近两年不断有相关的文章发表在一流的数学杂志上。有鉴于这两个方向发展的现状与特点，在本项目中，我们将以融合系统和2-表示理论体系的构建与完善为研究的主线，同时结合上述理论在模表示论中，特别是模表示论三大支柱猜想中的应用来展开研究工作。除了范畴化思想，本项目的研究工作将涉及到范畴论、群论、表示论、同伦论以及微分拓扑等领域，反映了其多学科交叉与融合的特点。因此，本项目的成果也必将对上述相关领域起到良好的推动作用。

本项目执行的主要目标及内容是通过新兴的理论，即融合系统与2-表示的研究工作，推动经典表示论的范畴化研究。在实际执行过程中，我们通过定义融合系秩与局部秩等概念，为研究提供了新的思路，给出了著名的Alperin猜想的等价刻画；在2-表示研究上，、通过特征标理论、量子同调论、导出范畴等领域的研究与技术推动理论体系建设，圆满实现了项目的既定目标。在项目后期，我们开始着手表示论几何化研究的探讨，以实现研究的可持续性发展。至此，有关领域的研究工作已经形成了具有鲜明特色的研究框架，超过了我们的预期。本项目目前完成论文9篇，其中4篇正式发表在国内、国际知名的学术刊物上，另外5篇或处于在审状态或处于最后的修改完善阶段；另有多项成果将在短时间内完成整理工作并以学术论文形式公开发表。本项目成员在项目执行期间多人次组织、参加国内国际相关的学术会议，并邀请相关领域专家来华进行访问和学术交流，产生了良好的国际影响。