狄氏型及其在数学物理模型中的应用

The Dirichlet form is a quadratic form with Markovian property on a Hilbert space. Due to the works of Fukushima, Silverstein, Ma, Röckner and etc, it is well known that every regular or quasi-regular Dirichlet form has an associated Markov process. On the other hand, some physical models from quantum field theory and statistical physics have attracted more and more researchers to study the relevant probabilistic issues in these years. Probability also becomes an important tool in these related fields...In this project, we plan to study some problems raised from mathematical physical models by applying the theory of Dirichlet forms. We shall first focus on the quasi-regular subspaces of a Dirichlet form related to the stochastic quantization of a quantum field and explore the connection between subspaces and stochastic quantization. Then we shall consider the continuum polymer model and its generalization. The theory of Dirichlet forms will be applied to characterize the globular phase and the phase transition of this statistical physical model. Finally, the stiff problem of heat transport will be described and studied by the Mosco convergence of Dirichlet forms.

狄氏型是Hilbert空间上满足Markovian性质的二次形式.得益于Fukushima,Silverstein,马志明院士,Röckner等人的工作,我们现在知道,任何一个满足正则性或拟正则性条件的狄氏型都存在与之对应的马氏过程.另一方面,近年来,量子场论和统计物理中的一些模型吸引着越来越多的概率工作者研究该领域中与概率论相关的问题.同时,概率论也逐渐成为相关领域的重要研究工具...在本项目中,申请人拟研究狄氏型理论及其在相关数学物理模型中的应用.首先,我们会进行随机量子化和狄氏型子空间的相关研究,探索拟正则子空间和随机量子化之间的关联.其次,我们计划考虑Polymer模型的连续化及其相关推广工作.狄氏型将被用于刻画这个统计物理模型的球状相和相变现象.最后,我们还会利用狄氏型的Mosco收敛性研究热传输模型中的stiff问题.

狄氏型是Hilbert空间上满足Markovian性质的二次形式。我们现在知道,任何一个满足正则性或拟正则性条件的狄氏型都存在与之对应的马氏过程。另一方面，近年来，量子场论和统计物理中的一些模型吸引着越来越多的概率工作者研究该领域中与概率论相关的问题。同时，概率论也逐渐成为相关领域的重要研究工具。..在本项目中，我们研究了狄氏型的一些理论问题及其在一些数学物理模型中的应用。首先，我们对局部型狄氏型的正则子空间和正则扩张做了一些深入的刻画。这些刻画不仅给出了二次型的准确表达形式，同时描述了对应扩散过程的概率性质。第二，我们利用狄氏型研究了一维空间中的stiff问题，基于障碍点的总热阻描述了它的相变行为。在数学上，我们提出了一类新的马氏过程对应临界相。这个工作同样引起了高维空间中相关问题的研究。第三，我们用狄氏型描述和刻画某些随机聚合物模型中球状相的概率对应物，并在后续研究中, 继续刻画了以稳定过程为基准的polymer模型的的相变行为，并证明了球状相的概率对应物在临界点附近将以一定的意义收敛至临界相的概率对应物。