非解析微分系统的中心问题及分岔

平面微分系统的中心是非双曲动力系统中的一种重要情况。由于它涉及物理上的周期振荡、共振及同步等问题，近年来人们十分关注其线性化、等时性及临界周期分岔，并对解析系统已获得大量结果，证明了等时性与解析线性化的等价性。然而，在切换微分系统等非解析系统中此二者是不等价的。本项目将研究切换微分系统和非整数次的近多项式微分系统这两类非解析系统的中心问题及分岔。对切换微分系统，由于等时性与解析线性化不再等价以及向量场存在切换线，解析系统中经典的线性化方法和横截交换法不再成立；对非整数次的近多项式微分系统，由于系统的次数非整数，寻找解析的线性化变换来获得等时性结果不再可行。在临界周期分岔方面，由于各阶等时常数将构成一个半代数系统，其生成理想的代数簇不可约分解变得尤为困难。我们将使用一种新的计算周期的反转方法和复化的思想，给出这两类非解析微分系统的中心条件，进而给出等时条件，并确定临界周期分岔的个数和位置。

非双曲动力系统中的中心问题及分岔一直是微分方程与动力系统的研究热点。它涉及物理上的周期振荡、共振及同步等问题。而且，由于实际问题中诸如控制理论中的反馈系统、电力电子方面的切换线路系统、工程力学中碰撞系统和干摩擦系统等大量地使用非解析微分方程组建立数学模型，近年来人们十分关注非解析微分系统的定性理论研究和分岔研究。本项目主要在解析系统的p:-q中心问题的理论基础上开展切换微分系统和非整数次的近多项式微分系统这两类非解析系统的中心问题及分岔的研究。具体地，在解析p:-q振动系统方面，我们对一类1:-1振动的三次Kolmogorov系统给出了其周期轨族具有同步性的充分必要条件，并用Darboux方法获取了显式的线性化变换；对非同步情形，给出了局部临界周期的个数以帮助分析周期轨族周期的变化。对具有1:-q振动形式的三次Lotka-Volterra系统，我们克服q的不定性所带来的困难，给出了多类中心条件。在非整数次近多项式系统方面，我们研究了一类2d+m（其中d是非负实数）次系统的中心及等时性问题，通过构造近解析变换把原系统解析化以使得解析系统的研究方法可行，并对m=3,5的情形给出了中心及等时条件。在切换系统方面，我们给出周期计算的反转方法以简化切换周期的计算，并通过构造各子系统的相容横截交换子给出证明等时性的方法。作为应用，我们在切换Bautin系统中发现了非平凡等时中心。