三维系统的中心问题、等时中心及临界周期分岔

The center problem, identifying whether an equilibrium at which the planar differential system has a pair of pure imaginary eigenvalues is center or focus, is playing a main role in the qualitative theory of differential equations. However, this problem was only solved in the planar quadratic system so far, although identification of focus and center occupies the fundamental position in dynamical analysis. It is much more difficult in three dimensional system. In our project, we consider center problem, isochronous center and critical period bifurcations in 3-dimensional systems. In order to determine if an center-focus equilibrium is a focus, we reduce a 3-dimensional system into a planar system by applying the approximation of center manifold. But in order to determine if an center-focus equilibrium is a center, those criteria for planar systems such as time-reversibility and integrability are not available on an approximated center manifold. Further, we need consider the period coefficients to discuss isochronicity and critical period bifurcations. It is hard to decompose the semi-algebraic systems of the ideal of period coefficients. By applying Sturm's theorem to the polynomial over an extension field and finding a close form for the global center manifold, we will give the conditions for each order of weak focus and center. Furthermore, we will give isochronicity conditions and discuss the number and position of limit cycle and periodic orbit from Hopf bifurcations and critical period bifurcations respectively.

中心问题是微分方程定性理论的一个重要问题，它包含细焦点判定和中心判定两个方面。尽管中心问题在大量模型分析中处于基础性地位，然而对一般多项式系统，仅对平面二次系统有完整的结果。这个问题到三维上就更加困难。对细焦点的判定，可以考虑约化在二维局部中心流形上的系统，然而对中心的判定，利用局部中心流形的逼近这类降维的方法是失效的。本项目将研究三维多项式系统的中心问题、等时中心及临界周期分岔。对三维系统，平面系统中心的判定方法(时间可逆性和可积性等)在局部中心流形的逼近上是不可行的。在等时中心和临界周期分岔方面，由于各阶的等时常数将构成一个半代数系统，讨论其生成理想的代数簇的不可约分解变得尤为困难。我们将使用代数扩域的思想和构造全局中心流形方法，分别给出细焦点具体阶数的参数条件及中心条件，进而给出等时条件，并确定Hopf分岔和临界周期分岔的个数和位置。

中心焦点判定包含细焦点判定和中心判定两个方面。本项目将研究三维多项式系统的中心问题及分岔。对于高维系统，经典的方法是通过中心流形或者LS约化定理来降维，然而即使对三维系统的细焦点判定需要在中心流形上计算Lyapunov量，其中心流形的计算让本已十分复杂的Lyapunov量的计算变得更为复杂，由于各阶Lyapunov量将构成一个半代数系统，其生成理想的代数簇的不可约分解变得尤为困难。以至于许多相关工作都停留在第一阶Lyapunov量的判定。另一方面，尽管对平面系统的中心判定已有时间可逆性和可积性等成熟方法，但不能通过局部中心流形的逼近来判定三维系统的中心。我们将使用代数扩域的思想和构造全局中心流形方法，分别给出细焦点具体阶数的参数条件及中心条件，并确定Hopf分岔和临界周期分岔的个数和位置。本项目研究了几类三维系统的中心问题及分岔现象。除了判定中心细焦点的阶数，我们也研究了局部分岔和奇线上的分岔现象，同时解释了这些分岔现象在生物学和物理学中的意义。项目研究的部分工作已发表在Journal of Mathematical Analysis and Applications和Mathematical Biosciences and Engineering等SCI源刊上。