一些非光滑系统的分岔及分岔控制问题的研究

By the theoretical analysis and numerical simulation, we studied the bifurcation and bifurcation control of some non-smooth systems such as: dry friction or impact oscillators with shape memory alloy (SMA), Chua’s circuit and so on. For dry friction or impact oscillators with SMA, we dissected the relationship of orbits and switching interfaces, investigated some classical bifurcations and non-smooth bifurcations of the periodic solution, and found vibration reduction can be achieved through the shape memory property of SMA restraints. For Chua’s circuit, we analyzed the stability of equilibrium points and equilibrium manifolds, discovered some new classical bifurcations and non-smooth bifurcations of the equilibrium point. We also obtained bifurcation conditions of the equilibrium point for three-dimensional systems and gave sufficient conditions of non-bifurcation with persistent stability for piecewise linearized continuous systems. Furthermore, we designed piecewise linear or non-linear continuous controllers and investigated the bifurcation control for the dynamical behavior. The project not only made the theory of non-smooth systems more perfect, but also promoted the application of non-smooth systems in engineering.

本项目以具有形状记忆合金(SMA)约束的干摩擦或碰撞振子，蔡氏电路等非光滑系统为研究对象，将光滑系统与非光滑系统的理论有效地结合，通过理论分析与数值模拟的方法研究周期解或平衡点的分岔及分岔控制。主要内容如下：对具有SMA约束的干摩擦或碰撞振子，探讨系统轨线和分界面的关系，确定周期解的常规分岔和非光滑分岔；与相应的弹性约束的非光滑系统相比，发现SMA具有减振的作用。对蔡氏电路，分析平衡点和平衡流形的稳定性，发现一些新的平衡点的常规分岔和非光滑分岔。对较一般的三维系统给出了平衡点可能出现的分岔类型及其判别方法，还对分段线性化的连续系统得到系统稳定到唯一平衡点的条件。在研究平衡点分岔的基础上，进一步对蔡氏电路等系统，设计出分段线性或非线性的连续函数作为控制器，进行分岔控制的研究，获得所需要的动力学行为。本项目完善非光滑系统理论知识的同时，使非光滑动力学更直接联系工程应用。

在自然界和实际工程系统中存在着大量的非光滑动力系统，在对其进行非线性动力学的研究中，分岔和混沌是其最重要而且最基本的特性。目前虽然一些学者研究了非光滑系统的分岔，但研究成果还不完善，需进一步深入探讨。同时，分岔和混沌的控制问题是非线性动力学研究的另一个重要内容，而对其研究的成果甚少，故本项目主要研究了非光滑系统的分岔和控制问题：对蔡氏电路通过分析平衡点和平衡流形的稳定性，发现了一些新的分岔类型，通过设计结构简单的控制器，还将系统稳定到了平衡点或平衡流形；对光滑度是3的修正的蔡氏电路，发现了与光滑系统相似的非光滑supercritical Hopf分岔；对分段线性的连续系统，从理论给出了系统只有一个稳定或不稳定平衡点的条件，进而设计了simultaneous 反馈控制和switched 反馈控制，使受控系统具有稳定或不稳定的平衡点，从而利用控制器可消除系统平衡点的分岔；通过广义哈密顿系统和观测器的方法重新设计了Filippov系统,消除了非光滑项,得到光滑的误差系统, 从而研究了有不确定参数和扰动的Filippov系统的混沌同步和自适应同步，数值模拟也显示该方法的正确性。因此，这些研究内容在丰富非光滑系统理论研究的同时，对实际工程的应用也起到了一定的指导作用。