平面切换微分系统的余维2分岔及相关问题

Bifurcation is the essential change of the phase portraits of differential systems while its parameters vary a little. The theory of bifurcations is very important to the investigation of stability and qualitative theory of differential systems. More and more researchers change the focus into non-smooth differential systems from the smooth case because more and more bifurcation phenomena are observed in non-smooth differential systems. Compared with the very developed bifurcation theory of smooth systems, in non-smooth systems its theory is in the period of bud such as in switching differential ststems. In this project we investigate bifurcations of codimension 2 and related problems for planar switching differential systems including the research of boundary equilibrium bifurcations, sliding bifurcations, degenerate Hopf bifurcations and corresponding normal forms. The non-smoothness on the switching line leads to the invalidation of classic methods developed for smooth systems. For bifurcations of codimension 2, we hope to make the vector field on the switching line clear by analyzing the location relationship between equilibria and the switching line, and finally obtain bifurcation conditions. For the degenerate Hopf bifurcations, we got its second order normal forms in a previous work. Based on this, we hope to construct a planar piece-smooth transformation which is consistent on the switching line to overcome the difficulty caused by the non-smoothness, and finally obtain completed high order normal forms corresponding to degenerate Hopf bifurcations.

分岔是指结构不稳定微分系统在参数微小变化时相图发生本质变化，其理论在微分系统稳定性及定性研究中极为重要。非光滑微分系统中丰富的分岔现象的发现使得研究重心从光滑系统转移到非光滑系统。与光滑微分系统日趋完善的分岔理论相比，切换微分系统等非光滑系统的分岔理论还处于萌芽发展期。本项目将对平面切换微分系统的余维2分岔及相关问题进行探索，包括边界平衡点分岔、滑动分岔、退化Hopf分岔及其正规形等研究。切换线上的非光滑性使得光滑微分系统中的成熟方法不再适用于切换系统。对余维2分岔，我们希望通过分析各子系统的平衡点与切换线的相互位置关系，理清切换线上的向量场，最终获取分岔条件。对退化Hopf分岔，我们在以前工作中已给出其二阶正规形，希望在此基础上构造一类分片光滑且在切换线上相容的平面映射，克服切换线上的非光滑性所产生的困难，进一步消去三次及更高次项中的非共振项，获得退化Hopf分岔对应的完整高阶正规形。

分岔是指结构不稳定微分系统在参数微小变化时相图发生本质变化，其理论在微分系统稳定性及定性研究中极为重要。非光滑微分系统中丰富的分岔现象的发现使得研究重心从光滑系统转移到非光滑系统。与光滑微分系统日趋完善的分岔理论相比，切换微分系统等非光滑系统的分岔理论还处于萌芽发展期。本项目主要考虑平面切换微分系统余维2 的分岔以及多类结构不稳定系统开折的全局定性分析等相关问题。我们把经典的平均法推广到平面切换系统，获得各阶平均函数的算法，分析各阶平均函数对参数的无关依赖并最终得到从细中心或细焦点分岔出的极限环的个数；把Melnikov方法发展到高维切换系统，对具有一个超平面切换面及n维周期流形的n维切换系统给出其扰动系统的各阶Melnikov函数，从系统维数和函数阶数推进了Melnikov函数的研究；证明fold-fold型同宿环的退化切擦-滑动分岔是余维2并给出分岔曲线的渐近表达，回答了前人提出的广义同宿环分岔出极限环最大个数的公开问题；对Fold-csup双切点系统的两参数开折，在前人小参数及局部动力学研究基础上给出一般参数情形下的全局动力学，发现非局部分岔现象以及开折系统的所有临界参数；给出了单切换线性系统滑动闭环的个数及完整结构，证明了滑动闭环的上界是2，并给出了滑动闭环和穿越周期轨的共存及个数关系；对具有两平行切换线的线性对称振子在退化情形下给出穿越极限环、穿越异宿环和滑动异宿环存在性的充要条件，并证明它们的唯一性及不共存性；对一类三次Lienard系统给出了在一般参数下的全局动力学，在唯一平衡点情形回答了前人所提出的关于重极限环分岔曲面的猜想；把前人一个奇点情形的切换Lienard系统研究推广到多个奇点情形，给出了其极限环的存在性、唯一性等结果，并应用到无滑动运动的线性切换系统来证明前人提出的极限环唯一性猜想；对局部临界周期分岔的上界可达性问题给出了一种新方法“限制无关性”，此方法在经典的无关性条件成立或是不成立的情形下都是可行的。