平面切换微分系统的正规形及分岔

Normal forms are the essential forms of planar differential systems. Its theory is very important to the study of bifurcations and qualitative theory of differential systems. Since more and more plentiful bifurcation phenomena are found in non-smooth differential systems, more and more works are turned to non-smooth systems from the smooth case. Compared with the normal form theory of smooth systems, that of non-smooth systems such as switching differential ststems is still lacking. In this project we study normal forms of planar switching differential systems. Since there exist switching lines in the phase space and different vector fields in different regions, the classic methods of smooth systems are invalid for non-smooth ones. Specially, some great difficulty are caused by the required compability of all vector fields in all regions. In order to obtain the normal form, we hopt to construct a kind of planar smooth transformations in all switching regions to overcome such difficulty. Further, using resonance terms of normal forms, we define generalized Lyapunov quantities and generalized period ones to study Hopf bifurcations and critical period bifurcations of planar switching differential systems. Moreover, we give a new method, which is a breakthrough in the independence requirement of quantities for smooth systems, to determine the numbers of limit cycles and critical periods for planar non-hyperbolic switching differential systems.

正规形是平面微分系统的最本质形式，其理论在微分系统的分岔及定性研究中极为重要。随着实际中越来越丰富的非光滑系统分岔现象的发现，大量工作从光滑系统转入到非光滑系统。相对光滑系统的正规形理论，切换微分系统等非光滑系统的正规形理论还是空白。本项目将对平面切换微分系统的正规形进行探索。由于系统中切换线、各切换区域内不同向量场的存在以及系统的不连续性，光滑微分系统中的经典方法已不适于用来获取切换系统的正规形。特别地，切换线上的不同向量场必须具有的相容性给正规形的获取带来极大困难。我们希望对切换系统量身构造一类分区域光滑的平面映射以克服系统的切换及向量场间的相容要求所产生的困难，获得平面切换微分系统的正规形。进一步，我们将利用正规形中的共振项定义一列广义李雅普诺夫量和一列广义周期量以研究平面非双曲切换微分系统的Hopf分岔和临界周期分岔，并给出一种突破经典方法中对这些量无关性要求的新方法。

正规形是平面微分系统的最本质形式，其理论在微分系统的分岔及定性研究中极为重要。随着实际中越来越丰富的非光滑系统分岔现象的发现，大量工作从光滑系统转入到非光滑系统，甚至是不连续系统。相对光滑系统的正规形理论，切换微分系统等非光滑系统的正规形理论还是空白。本项目主要对平面切换微分系统的正规形进行探索并应用到分岔研究中。由于系统中切换线、各切换区域内不同向量场的存在以及系统的不连续性，光滑微分系统的经典方法已不适用于用来获取切换系统的正规形。切换线上的不同向量场必须具有的相容性给正规形的获取带来极大困难。在本项目中，我们主要对切换系统量身构造一类分区域光滑的平面映射以克服系统的切换及向量场间的相容要求所产生的困难，最终获得平面线性切换系统的正规形以及非双曲切换系统的二阶正规形。利用此二阶正规形中的共振项定义广义李雅普诺夫量和广义周期量以研究平面非双曲切换微分系统的Hopf分岔和临界周期分岔，给出了非退化Hopf分岔和非退化临界周期分岔条件以及二阶等时中心条件。对退化Hopf分岔，我们给出一种突破经典方法中对李雅普诺夫量无关性要求的新方法。Lienard系统是非常经典的一类力学系统，越来越多地学者研究其切换形式。由于其动力学行为的复杂性，即使解析情形的Lienard系统动力学研究都还停留在低次以及局部。因此，我们研究一类三次Lienard系统的全局动力学并在多个平衡点情形下解决了前人提出的关于重极限环分岔曲面的猜想。具有干摩擦的系统也是非光滑系统中一类重要的系统，其定性理论的研究由于不光滑性而非常困难，甚至一些特殊解的存在性都没有一般结果，比如周期解。我们研究了一类具有混合摩擦项的受迫系统的调和解，在比前人工作中更弱的条件下给出了其调和解的存在性和唯一性。