血管化肿瘤模型偏微分方程的若干问题

This project is concerned with some problems on the partial differential equations of vascularized tumor model. For the free boundary problem on partial differential equations modeling the growth of angiogenesis tumor, we shall study the wellposedness of solutions and the asymptotic behavior of free boundary. The migration of endothelial cell is the most essential in the process of tumor-induced angiogenesis. We also study the global existence and stability of solutions to the diffusion-chemotaxis-haptotaxis equations of endothelial cell. For the partial differential equations of vascularized tumor with inhibitors, we shall investigate the control problems of these systems. The stage of vascularization is very important for tumor to keep fast growth, invade and migrate. The research on the vascularized tumor might give some reference to the treatment of tumor by anti-angiogenesis drugs. The existence of free boundary, nonlinear diffusion and multi-coupled terms brings some difficulties to our research, we have to seek some useful methods and tools, our results will enrich the known theory of partial differential equations.

本项目拟研究血管化肿瘤模型偏微分方程的若干问题，包括用来描述血管化肿瘤生长模型的偏微分方程自由边界问题解的适定性与边界的渐近行为；肿瘤血管新生过程中血管内皮细胞的扩散-趋化-趋触运动模型偏微分方程组解的整体存在与稳定性；含抑制物的血管化肿瘤模型偏微分方程相关的控制问题等。血管化生长阶段是肿瘤实现恶性增长、入侵与转移的关键环节，本项目将通过对此类模型的数学研究揭示血管化肿瘤生长机理，为医学上诊断与治疗肿瘤提供有参考价值，具有鲜明的实际意义；本项目研究问题中含有自由边界、非线性扩散及多种非线性耦合，这给研究带来困难，需要我们合理选择研究方法与工具，所得结果将在一定程度上丰富已有的偏微分方程理论，具有一定的理论意义。

本项目主要研究用于描述血管化肿瘤生长模型的偏微分方程，进入血管化生长阶段的肿瘤由于生长速度快和容易发生转移，常常不能被彻底治愈而成为威胁人类生命的主要疾病。本项目研究了含时滞的、抑制剂作用的、死核的、周期/概周期营养供给的，以及环柱状生长和液态由Stokes方程描述的几类血管化肿瘤模型偏微分方程自由边界问题解的定性理论，并探讨了与肿瘤模型相关的控制问题。具体而言，本项目对含时滞的血管化肿瘤模型偏微分方程自由边界问题，建立了径向对称时变解的存在唯一性和稳态解的存在性及其在径向对称与非径向对称扰动下的稳定性，还得到了非径向对称稳态解的存在与分布，并利用数值分析与理论分析，给出了肿瘤细胞在繁衍阶段、凋亡阶段与凋亡调节机制中的时滞和血管化程度对肿瘤生长的具体影响；对含死核的血管化肿瘤模型偏微分方程自由边界问题球状时变解与稳态解进行了严格数学分析，发现关于周围营养浓度存在两个阈值，明确地刻画了非平凡稳态解的存在性与时变解的渐近性态，以及稳态肿瘤是否含有死核。此外，还证明了具抑制物作用、含死核、环柱状、液态等类型肿瘤模型的分歧现象，给出了多种因素与非径向对称稳态解存在性之间的联系。在与肿瘤模型相关的控制问题中，本项目通过最优控制问题讨论了抑制剂参数识别问题，且在自由边界问题控制理论中取得了一定研究进展。以上研究结果，进一步揭示了血管化肿瘤的生长机制，为医学治疗提供了参考。