肿瘤生长数学模型和液晶模型的若干问题研究

本项目将对两类有重要实际背景并由非线性发展方程描述的数学模型进行研究，一类是柱状肿瘤生长的数学模型，第二类是描述液晶模型的Hunter-Saxton方程。此类肿瘤模型的自由边界为柱状，常见于脉管化的肿瘤有乳腺癌和淋巴癌等癌症。我们拟从数学上对这类肿瘤生长模型进行定性研究，建立整体解的存在唯一性及解的渐近性态,为人们研究肿瘤生长的内在机理建立数学理论基础。液晶模型是一类浅水波（短波）方程，描述了在大规模的向列型液晶方向场中的弱非线性的方向波的传播。我们拟研究Hunter-Saxton方程及相关方程的初值问题和初边值问题的局部适定性，强解的爆破和整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性。本项目拟研究的两类模型都是非线性发展方程，都来源于生物和物理中的实际问题并有相当难度，有十分重要的科学意义和独立的理论研究价值。

本项目研究了两类有来源于生物和物理中并由非线性发展方程描述的数学模型，一类是描述在大规模的向列型液晶方向场中的弱非线性的方向波传播的带弱耗散的HS方程和广义的HS方程（简称 HS 方程），我们运用Young测度理论和粘性消失法得到了整体弱解的存在性。另一类是肿瘤生长的数学模型，此类肿瘤模型常见于已经血管化或脉管化的肿瘤如乳腺肿瘤，大脑胶质瘤，血管肿瘤和免疫细胞抑制肿瘤的生长等，这些肿瘤模型都是带有交叉扩散的偏微分方程组，有些是自由边界问题，还有些带有不连续项，我们从数学上对这类肿瘤生长模型进行定性研究，得到整体解的存在唯一性或整体解的存在性。