生物数学趋化现象及相关偏微分方程的若干问题

We plan to study the mathematical theories of several partial differential equations that describe the chemotaxis in biology. We consider three kinds of problems. The first one is the stability of traveling waves, we will consider four problems: first is the stability of traveling waves with large amplitude, vacuum state and arbitrary diffusion rate; second is the convergence rate to traveling waves; third is the stability of traveling pulse; and fourth is the stability of multidimensional traveling waves. ..The second kind of problem is the effect of growth terms on the pattern formation and their stability for chemotaxis models. It includes the existence and stability of multidimensional traveling waves, the profile and stability of multidimensional non-constant steady state and the pattern formation under the effect of volume-filling. We will consider the cases of logistic growth and the Allee effect. ..The third one is to study the effect of fluid dynamics on the chemotaxis model. There are four problems. The first one is the formation of spiky pattern and its stability; the second one is the formation of plume, i.e. to show the Rayleigh-Taylor instability; the third one is the optimal temporal decay rate; and the last one is the optimal spatiotemporal decay rate.

本项目拟研究描述生物学中趋化现象的几类偏微分方程组的数学理论。包括三类问题。第一类是研究行波的稳定性，我们拟研究四个具体问题：一是大波强、带真空、任意扩散系数下波前的稳定性问题；二是行波稳定的收敛速度估计；三是脉冲波的稳定性；四是高维行波的稳定性问题。. 第二类是考虑增长项影响下趋化模型的模式形成和稳定性问题。包括高维行波的存在性和稳定性，高维非常数稳态解的存在性、形状和稳定性，体积填充效应下高维模式形成问题，我们计划分别考虑logistic增长和Allee效应两种情形。. 第三类是研究流体力学对趋化模型的影响。具体包括四个问题。一是尖峰模式的存在性和稳定性；二是羽毛状模式的产生机制，即证明Rayleigh-Taylor不稳定性；三是解的最优时间衰减率；四是解的最优时空衰减率。

在国家自然科学基金面上项目资助下，项目组发表10篇SCI检索论文，指导毕业1名硕士研究生。在以下3个方面取得了重要学术进展。..1.我们研究了半空间上带有对数型敏感函数的生物趋化模型解的渐近形态。我们发现当细菌在边界满足内流条件时，该边条件会选取行波，使得模型的解收敛到该行波。该结果描述了肿瘤渗透到血管的现象。该问题的难点在于行波一端连接真空，从而模型具有奇性；并且行波不满足边条件，导致边界层的出现。我们采用Cole-Hopf变换和加权能量估计克服奇性困难；利用Matsumura-Mei方法选取合适的平移及边界估计克服边界层的困难。我们也研究了细菌在边界满足零通量条件，氧气满足Dirichlet条件时，半空间上趋化模型解的渐近形态。我们发现此时模型具有稳定的尖峰模式。该结果解释了细菌在水滴表面的聚集现象。该问题的难点是Cole-Hopf变换带来非局部项。我们利用方程结构，结合反导数方法，通过细致选择权函数，基于Hardy型不等式，同时克服了非局部和对数奇性带来的困难。..2.我们讨论了阻尼Euler-Poisson方程组定常解的结构。该模型亦称为半导体流体动力学模型。我们证明了，当杂质为亚音速时，系统具有亚音速解、超音速解；当松弛时间很大时，具有激波跨音速解；当松弛时间很小，并且杂质是常数时，系统具有光滑跨音速解。当杂质为超音速时，解的结构完全不同：此时没有亚音速解；如果杂质很小或者松弛时间很小，系统也不具有超音速解和跨音速解；但是当杂质接近音速并且松弛时间很大时，系统具有超音速解和跨音速解。这2个结果表明，阻尼极大影响了可压缩流体力学方程组解的结构。..3.我们研究了阻尼随时间退化的可压缩Euler方程组的长时间行为。通过建立最大值原理，并基于凸性方法，我们发现存在临界退化指标，当退化弱于临界值时，方程具有大初值整体解；当退化强于临界值时，与经典可压缩Euler方程组类似，即使任意小初值的解亦会爆破。当退化弱于临界值时，我们进一步证明了整体解具有长时间耗散效应，即解收敛到扩散波，并且得到了最优收敛速度。