应用偏微分方程的若干问题

This project aims at studying applied partial differential equations from the following four aspects: (1) Numbers and asymptotic stability of spherically non-symmetric solutions of tumor models; (2) Global well-posedness in certain critical function spaces of certain dispersive nonlinear evolutionary equations arising from physics; (3) Existence and stability of multi-soliton solutions of certain non-integrable nonlinear evolutionary equations arising from physics; (4) Well-posedness and global behavior of solutions for some nonlinear evolutionary equations associated with the Navier-Stokes equations. These problems have significant application background in biology and physics. In this project we want to make deep and systematic rigorous mathematical analysis with the purpose to provide a solid mathematical basis for the study of the corresponding subjects in applied sciences. This project has not only strong application background, but also has significant theoretical meaning in partial differential equations, so that it is also very interesting from mathematical viewpoint.

本项目旨在从以下四个方面研究应用偏微分方程问题：（1）肿瘤生长模型的非球对称解的个数与渐近稳定性；（2）一些来源于物理学领域的色散型非线性发展方程初值问题在某些临界函数空间中的整体适定性；（3）一些来源于物理学领域的不可积非线性发展方程多孤立子解的存在性和稳定性；（4）一些与Navier-Stokes方程相关的非线性发展方程在一些新型函数空间和一些临界空间中的适定性和解的整体性态。这是一些在生物学和物理学等领域有重要应用背景的偏微分方程问题。本项目旨在对这些从应用学科领域提出的偏微分方程问题做深入系统的数学理论分析，为应用学科领域相关课题的研究提供坚实的数学理论基础和数学分析工具。本项课题不仅有重要的应用科学意义,而且需要综合地运用一些深入的数学理论和最新的分析学知识,对它的深入研究必能促进偏微分方程理论的进一步发展,因此也具有重要的数学理论意义。

本项目研究以下三个方面的问题：（一）描述肿瘤生长的偏微分方程自由边界问题的数学理论分析，主要研究了描述血管化肿瘤生长模型的带有第三边界条件和非线性边界条件的偏微分方程自由边界问题以及描述有坏死核的肿瘤生长模型的偏微分方程自由边界问题；（二）Navier-Stokes方程以及与此方程相关的一些其他非线性发展方程尤其是描述大尺度海洋和大气动力学行为的下述称之为primitiveequations的偏微分方程组和描述血液等不可压微极流体运动的偏微分方程组等在一些新型函数空间和一些临界空间中的适定性、解的正则性和解的整体性态；（三） 一些来源于物理学领域的非线性发展方程的多孤立子解的存在性和稳定性等问题。对于所研究的各项内容,我们都做了尽可能深入的理论分析,取得了一系列具有较好理论和应用意义的研究成果,尤其是对描述肿瘤生长的偏微分方程自由边界问题和Navier-Stokes方程，取得了一些非常好的成果，例如我们对Navier-Stokes方程在临界Besov空间中的适定性问题这一国际Navier-Stokes方程研究领域十分关注问题的研究成果，得到了最佳结果，所获成果已经被写入介绍这一课题最新研究进展的国际名著《The Navier-Stokes Problem in the 21st Century》中(见其中的定理9.6)；对描述有坏死核肿瘤生长的偏微分方程自由边界问题适定性和当时间趋于无穷时解的渐近性态等问题的研究成果，采用Nash-Moser隐函数定理等高深的数学理论做工具，不仅解决了这一已经十余年悬而未决的问题，而且在解决这一难题的过程中我们建立一些新的数学理论工具，提出了拟可微Banach流形的概念，建立了拟可微Banach流形上具有在Lie群作用下不变结构的拋物型微分方程的定性理论。我们为解决这一问题所创造的思想和方法,已经被同行学者学习并应用来解决他们所研究的一些问题。本项目迄今已经发表论文24篇（其中正式发表21篇，在网上发表预计2020年刊入印刷版的论文3篇），另有数篇论文已投稿或在Arxiv上公布于国际学术界。