数值调和分析方法在一类传输占优型问题中的应用

The main objective of this project is to deal with a class of transport dominated problems, for instance, the linear transport equations on bounded domain and parameter dependent transport problems like radiative transfer. We intend to develop a suitable adaptive algorithm for this class of problems and prove error reduction rigorously from theory. As is known, the solutions to transport dominated problem often behave anisotropic features such as shear layer, boundary layer or shock fronts, etc. To economicly resolve such kind of anisotropic singularities, the idea is to use the new designed directional representation systems, like shearlet frame，namely the trial space is spanned by Shearlets. As currently the Shearlets with compact support in physical space is only designed in L2, we need to design a L2-stable variational formulation based on which to find an adaptive iterative scheme with optimal convergence rate. And on the other hand, we will illustrate our theorem by numerical experiments. The parameter dependent problem is a class of high dimensional problem, use the standard diecretization method will face the curse of dimensionality. We will generate the L2-stable variational formulation for linear transport problem to parameter dependent case, combine it with the sparse tensor product method or optimal tensor product method to break the curse of dimensionality.

本项目的主要目标是对一类传输占优型问题，如有界区域上的线性传输方程以及依赖参数的传输问题如辐射传输模型, 设计相应的自适应算法并从理论上证明误差缩减。 传输占优型问题的解常常表现出各向异性的特征，比如剪切层，边界层，激波前沿等物理现象。 为了有效和经济地解决解的各向异性结构，想法是使用新设计的方向表示系统如Shearlet框架，即试探空间是由Shearlets张成的。 由于目前人们只在L2上构造出物理空间有紧支集的Shearlet框架， 因此需要开发适用于Shearlets的L2稳定的变分公式。 基于此公式设计自适应的数值迭代格式，从理论上严格证明迭代格式具有最优的收敛速度， 同时给出实验的验证。 依赖参数的传输问题是一类高维问题，用经典的方法进行数值离散会面临维数的灾难。 将推广线性传输方程的变分公式到高维参数问题，结合稀疏张量积方法或最优张量积方法以解决维数的灾难。

本项目的主要目标是应用调和分析中的方法和想法研究一类偏微分方程的数值方法和理论性质。 很多起源于物理领域的重要数学问题都带有各向异性特征，如奇性集中在低维嵌入流形上。 双曲守恒律方程的解或更一般的传输型方程的解所显示的激波等就是非常强的各向异性现象。当空间维数越高时，如何有效捕捉和稀疏表示这种各向异性结构就变得越重要，也越具有挑战性。 探索能够严格证明误差缩减的传输型方程的自适应数值格式的主要困难在于：(1)这类问题缺少合适的稳定的变分公式；(2)这类问题的解常表现出各向异性的特征，如何经济可靠地解决解的各向异性行为是另一大困难。 本项目尝试应用数值调和分析工具-方向表示系统-来处理偏微分方程的解所表现的各向异性的结构。.特别地，本项目研究了传输型偏微分方程如一阶线性传输方程、依赖参数的传输问题，如辐射传输模型, 以及更一般的偏微分方程如Navier-Stokes方程等的理论性质。 数值离散这类依赖参数的问题面临较大挑战，因为要模拟的解存在于高维相空间上, 使用经典方法无法有效解决这类问题。此外，已知的大多数用以解决这类高维问题的变分公式都有严格的正则性要求，若依赖这类变分公式则无法应用方向表示系统离散， 因为它们只是L2的框架。.本项目的主要结果：从一阶线性传输方程出发，以应用方向表示系统离散试探空间为中心目标，找到适合应用该系统的传输问题的变分公式并将其推广到依赖参数的传输问题。该变分公式不仅适用于传统的有限元离散方法，而且适用于一般的多水平离散方法，如方向表示系统离散法。 在此变分公式基础上设计了自适应的数值离散格式，从理论上分析数值格式的收敛性和复杂性。应用缩减基、稀疏张量积等方法研究了辐射传输模型的数值解法，进行了数值模拟。应用调和分析中的精细方法，研究了导数Ginzburg-Landau方程的适定性和解的解析性、广义Klein-Gordon-Schroedinger系统柯西问题的低正则适定性问题以及(广义)Navier-Stokes方程柯西问题的适定性和解的解析性质。. 综上，本项目应用数值调和分析工具--方向表示系统对传输型方程的数值模拟进行了一些尝试, 得到了一些新的结果，为数值离散PDE开拓一个新的研究思路，具有一定的理论意义和应用价值。此外，本项目应用调和分析方法研究了一类偏微分方程的理论性质，完善了偏微分方程的理论。