量子包络代数的典范基与单项基

The canonical bases and the monomial bases of quantized enveloping algebras have remarkable properties, and they have important applications in representation theory. By the algebraic and geometric methods of constructing the canonical bases, the representation theory of quivers, the theory of Ringle-Hall algebras, the categorification of quantized enveloping algebras and the criterion for tight monomials, we focus on the following problems:.(1) Inspired by the work of Nanhua Xi and Jiachen Ye, we will give the canonical bases of quantized enveloping algebra of type G2 explicitly;.(2) We will prove the following conjectures about tight monomials: i)If E_i^(a) is tight(i=(i1,…,in),a=(a1,…,an)), then s_i is reduced in the corresponding Weyl group; ii)When C is the Cartan matrix of finite type, the length of the longest tight monomial of the quantized enveloping algebra is finite, equal to the length of the longest word in the corresponding Weyl group. Otherwise, there exist tight monomials of any length;.(3) Based on the work of Bangming Deng, Jie Du and Jie Xiao, we will further their research on the monomial bases of quantized enveloping algebras. For quantized enveloping algebras of affine type, we will give a systematic way of constructing the monomial bases.

量子包络代数的典范基与单项基具有很好的性质并在表示理论中有很重要的应用。本项目中，利用典范基的代数及几何构造方法、箭图的表示理论、Ringle-Hall代数理论、量子包络代数的范畴化理论、紧单项式的判别条件，受前人工作的启发，在申请人前期工作的基础上，尝试解决以下问题：1、对应不同的piecewise线性区域，写出G2型量子包络代数典范基的全部元素；2、对紧单项式与其对应的Weyl群中元素之间的以下关系，给予严格的证明：i) 若E_i^(a)是紧单项式(i=(i1,…,in),a=(a1,…,an))，则s_i是对应Weyl群中的简约表达式；ii) 在有限型量子包络代数中，紧单项式的长度有限，最大长度等于其Weyl群中最长元的长度；在非有限型量子包络代数中，存在任意长度的紧单项式；3、受邓邦明、杜杰、肖杰等人工作的启发，作为前人工作的延续，对仿射型量子包络代数，给出构造单项基的系统方法。

1、在量子超群U(gl_m|n)的BLM实现的基础上，杜杰和顾海霞得到了U(gl_m|n)的正负部分的典范基，并且证明了U(gl_m|n)的典范基诱导它的简单多项式模的典范基，这个结论Clark利用晶体基的方法也证明过，Clark同时证明了U(gl_m|1)的典范基与PBW基的选取无关。我们利用杜杰和顾海霞给出的典范基的算法，得到了量子超群U(gl_3|1)的正部分U^+(gl_m|n)的典范基，与席南华给出的U(gl_4)的正部分的典范基相比，当E_3的指数为1或0时，这两组基是一致的。另外Clark利用晶体基的方法也得到了U(gl_3|1)的负部分U^-(gl_3|1)的典范基，通过将F_i映射到E_i，我们可以得到U^+(gl_3|1)的典范基，虽然有些元素的表达式不同，但这组典范基与我们得到的典范基是等价的，Clark只是表明了典范基的元素与PBW基的元素的对应性，而我们是精确的将典范基的元素表示为PBW基元素的线性组合，这些系数会给出很多U(gl_3|1)的信息。.2、受到Carlson, Friedlander和Pevtsova的工作以及Pevtsova和Stark的工作所启发，确定了Cartan型单李代数的基本子代数的第一步工作，这类李代数不是来自于代数群。作为开始的尝试，我们研究最简单的Cartan型子代数，即g=W1，Witt代数的基本子代数。完全确定了极大基本子代数。进一步，完全给出了最大维数的基本子代数在g的自同构群作用下的共轭类。从而，证明了最大维数的基本子代数射影簇E((p-1)/2,g)是不可约的且是一维的，更进一步，证明了E(1,g)是不可约的，具有维数p-2; E(2,g)是等维的，共有(p-3)/2个不可约分支，且每个不可约分支的维数是p-4。而当3<=r<=(p-3)/2 时，E(r,g)是可约的，给出了E(r,g)(3<=r<=(p-3)/2 )维数的一个下界。.3、给出了广义映射Schrodinger-Virasoro代数的所有二上同调群, 并且给出了这类李代数的所有泛中心扩张; 给出了扩张的圈Schrodinger-Virasoro代数的所有二上同调群, 并且给出了这类李代数的所有泛中心扩张; 扩张的圈Schrodinger-Virasoro代数和广义扩张的圈Schrodinger-Virasoro的所有导子代数被完全刻画。