运用几何方法研究量子群的典范基和Kazhdan-Lusztig理论

Although flag varieties, quantum groups (Lie algebras or algebraic groups) and Coxeter groups (or Hecke algebras) are distinct subjects studied in different areas, they are closely connected by Kazhdan-Lusztig (KL for short) theory and Schur-Weyl duality. Canonical basis theory and KL theory of quantum groups are two fundamental breakthroughs in Lie theory. Over the past thirty years, they have guided the development of representation theory. In this project, we shall study the topics related to the canonical basis of quantum groups and their Kazhdan-Lusztig theory by using perverse sheaves etc. We shall study geometric approaches to (Mirabolic) Schur-Weyl duality and their algebraic version and categorification. The expected results not only provide the canonical basis of certain coideal algebras of quantum groups (or q-Schur algebras), but also can be used to study KL theory of certain quantum groups. Moreover, we shall study the positivity conjecture of quantum groups with respect to canonical bases conjectured by Lusztig and the relationships among weight categories of different quantum groups and their applications to topology, combinatorics etc. These are vitally important to the canonical basis theory and KL theory of quantum groups.

Flag variety、 量子群（李代数或代数群）的表示、Coxeter群（或Hecke代数）分别是代数几何、李理论和组合数学不同领域中的的研究对象，但它们之间通过Kazhdan-Lusztig（简称KL）理论和Schur-Weyl对偶紧密联系着。量子群的典范基理论和KL理论是李理论中两个重要里程碑，在过去的三十多年里，它们一直引导着表示理论的发展。本项目利用perverse sheaf等几何工具研究量子群的典范基和KL理论相关问题。我们将研究（Mirabolic）Schur-Weyl对偶的几何实现及其代数化和范畴化，它不仅会给出量子群的余理想代数（或q-Schur代数）的典范基，而且可以用来研究某些量子群的KL理论；此外，我们将研究量子群上关于典范基的正性猜想（Lusztig猜想）和不同量子群权表示范畴间的关系及其在拓扑、组合数学中的应用，这对量子群的典范基理论和KL理论具有重要意义。

i-量子群可以看成是量子群的非平凡推广，将各种各样量子群的相关理论推广至i-量子群被称为i-工程，这一工程现已成为表示论中的一个前沿领域，受到很多著名数学家好评。本项目运用反常层理论和等变K-理论两种不同的几何工具给出i-量子群的几何实现，在B/C型佐证了局部几何Langlands对偶。该结果对研究Langlands对偶具有重要意义。本项目所取得的结果不仅完善了i-量子群的相关理论，而且也为量子群、几何表示论等领域带来了很多新的研究课题。本项目主要取得了如下成果：.1.利用反常层理论给出了仿射C型i-量子群的几何实现，系统地研究了仿射C型i-量子群的相关理论，证明了它与仿射A型量子群形成量子对称对。.2.证明了仿射C型i-量子群与仿射C型Hecke代数形成了Schur-Weyl对偶，通过Hecke代数的结构系统地研究了仿射C型i-量子群代数性质。.3.利用等变K-理论给出了有限B、D型i-量子群的几何实现，并证明它们与Langlands对偶群对应的flag variety上的反常层构造的i-量子群同构，由此在这两个情形佐证了局部几何Langlands对偶。.4.构造了三参数仿射C型Schur-Weyl对偶。在参数取特殊情形时，分别得到了仿射B/C/D型Schur-Weyl对偶，因此从代数上统一了仿射B/D型i-量子群及其对应的Schur-Weyl对偶的研究。.5.通过余乘的几何实现在仿射A型量子群、B型i-量子群情形证明了余乘下Lusztig正性猜想。.6.通过几何方法建立了仿射C型q-Schur代数的乘积公式，该公式在一些特殊化情形分别得到各种各样q-Schur代数的乘积公式。.7.通过构造了一类twisted Hopf代数统一了各种各样量子群Drinfeld double的实现，并由此给出了这些不同量子群间的关系。.8.系统地研究了量子Borcherds-Bozec代数的相关理论，包括经典极限、抽象晶体基理论等。