多体问题中的非线性椭圆方程及相关问题研究

In this proposal, we investigate nonlinear elliptic equations in the Hartree and Hartree-Fock theories and related mathematical problems. These equations are Schrodinger equations defined in the whole space with nonlocal nonlinearities. We plan to consider the existence, nonexistence, symmetry and decay law of standing wave solutions for equations with different external potentials and effective potentials between particles, in non-relativistic and relativistic cases. We also investigate mathmatical problems in the collapse of Bose star and BEC as well as vortices in superfluid.

本项目研究Hartree和Hartree-Fock理论中的非线性椭圆方程及相关的数学问题，这类方程是定义在全空间上的具有非局部非线性项的薛定谔方程。我们将在不同的外场位势和粒子间相互影响的位势条件下，研究非相对论和相对论情形对应的方程解的存在性、不存在性、解的对称性和解的衰减性等性质。讨论BEC和波色星的坍塌中的数学问题以及超流中的量子涡旋的存在性和形态。

本项目研究了Hartree与Hartree-Fock理论中的非线性椭圆方程和相关的数学问题。 证明了Hartree方程和Hartree-Fock方程的Liouville型定理；研究了具有van de Waals位势的Schrodinger方程，双临界椭圆问题，零质量Choquard方程解的存在性；讨论了波色星坍塌的数学问题和解的爆破现象，相关的高阶Schrodinger方程解的存在性，构造了相对论算子和Choquard方程的波节解，研究了分数阶拉普拉斯算子峰值解的构造与区域拓扑的关系；对于波色-爱因斯坦凝聚中超临界问题，在不同位势下研究了解的存在性与坍塌问题及爆破现象，研究了波色-爱因斯坦凝聚中涡旋的存在性和渐进性质。