带位势的非线性椭圆方程及其相关的退化椭圆问题

Nonlinear elliptic equations with potentials mainly arise in searching the standing waves of nonlinear Schrodinger equations in physics, which has significant physical background. It is important to know mathematically how the potential functions affect the behaviors of the solutions of the equations, which may provide theoretical guidance for physical experiments. The aim of our this project is to investigate how the properties of potentials in three kinds of nonlinear elliptic equations affect the behaviors of their solutions. Roughly speaking, our subjects include: For a Laplacian elliptic equation with a trapping potential involving a parameter, we are interested in getting the detailed information on its bifurcation solutions, particularly, the properties on the bifurcation point from the trivial solutions; For an elliptic equation with critical growth and a potential having singularity, we want to study the existence, priori estimates and decay rates of its solutions, as well as the existence of sign-changing solutions with many nodes; For a semi-classical state type elliptic equation with a degenerated potential, we try to prove the uniqueness on its solutions. Moreover, we hope also to study some analogous problems for the corner degenerate elliptic equations with potentials. There are many difficulties (such as, determining the location of bifurcation point, establishing the precise energy estimates, handling the singularity and degeneration of potential, etc.) in the studies on the above mentioned problems, it is necessary to develop some new ideas or new methods to overcome them.

带位势的非线性椭圆方程主要来源于非线性薛定谔方程的驻波解研究，有很好的物理背景。从数学上研究位势函数对方程解的影响，可为分析物理实验中位势形状对实验结果的影响提供理论指导。本项目将围绕三类带位势的非线性椭圆方程开展四个方面的研究：对一类含参数位势的Laplace型椭圆方程，研究势阱深度随参数变化时解的分歧行为，特别是平凡解枝上的分歧点性质；对于一类带奇异非线性位势且具有临界增长的Laplace型方程，研究其解的存在性及其先验估计与衰减性，分析解在位势奇点处的性态，进而建立多节点的变号解的存在性；对于一类半经典态下的椭圆方程与方程组，研究位势有退化性时其集中解的唯一性；此外，还拟对锥流形上一类退化椭圆算子相应的带位势的椭圆方程进行类似的研究。这些研究的核心难点在于：分歧点的确定、精确能量估计的建立、位势的奇性与退化性的处理等。我们希望通过方法上的创新，在上述四个方面的研究中取得一些创新性结果

本项目主要针对几类带位势的非线性椭圆方程和方程组开展了较为系统深入的研究，分析了位势函数的性质对这些方程（组）解的存在性、唯一性、对称性以及渐近行为等方面的影响，得到了一系列新的、有意义的结果，解决了有关问题的一些核心或公开问题。.对含有双线性位势、或同时含有线性和非线性位势的几类椭圆方程（组），通过引入新的爆破分析技巧以及辅助能量泛函等方法，结合方程本身的特殊结构，分析了线性位势的最小值点的位置、非线性位势的最大值点的位置以及方程中的相关参数对基态解的存在性和渐近性质的影响。例如，针对含有双线性位势函数的伪相对论Hartree方程组，我们发现两个位势是否具有共同的最小值点决定了方程是否存在基态解；针对含有线性和非线性位势的分数阶椭圆方程，分析了线性位势的最小值点和非线位势的最大值点的局部性态对基态解的存在性和爆破率的影响；针对带双位势的GP方程组，我们建立了基态能量可达的门槛条件，并从数学上严格分析了双组分玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）现象中的质量坍塌现象。.针对含有（退化）线性位势的几类椭圆方程（组），利用算子谱理论等变分手段，结合局部Pohozaev恒等式方法证明了集中解的唯一性；克服了位势的强退化性和解衰减速度不够等困难，拓展了局部Pohozaev恒等式方法在含位势的椭圆方程解唯一性研究中的应用范围。例如：针对带环形位势（沿着切平面完全退化）的GP方程组，通过建立新的反射技巧证明了基态解具有柱对称性，进而得到了其唯一性；针对含有奇异参数的伪相对论Hartree方程，利用算子谱理论结合第三类Bessel函数的渐近性质证明了解具有一致指数衰减性，并在一定的条件下证明了基态解是唯一的，从而部分解决了Lieb-Yau在文[ Comm. Math. Phys. 112, 1987]中提出的有关基态解唯一性的猜想；对含有渐近线性项的锥型退化椭圆方程, 利用极限方程解的对称性和渐近性态等性质结合Pohozaev恒等式、质心函数和环绕理论等技巧证明了该方程存在正解。