偏微分方程保结构算法及其在正压大气浅水波方程上的应用

With the aim to solve the baraotropic atmosphere shallow water equations effeciently, stably and accurately, this project investigates and develops basic theory and applications of the structure-preserving algorithms for partial differential equations. The content of the project has two main parts. In the first part, we develop the basic theory of struture-preserving algorithms with emphesis on the construction methods and applications of finit difference method and pseudo-spectral method. In the second part, we study the structure-preserving algorithms for the baraotropic atmosphere shallow water equations. We first investigate the mathematical structrues of the equations and find out the influence of boundary conditions on those structrues. Then based on the structures, we will consider three kinds of numerical algorithms. They are finite difference methods to preserve Hamiltonian nature, local structure-preserving finite differnece methods and structure-preserving spectral or pseudo-spectral methods. Based on extensive numerical tests and comparisons, this preject will propose a detail report on structures and structure-preserving algorithms of the equations, which not only establishes the basic theory about applications of structure-preserving methods to computational geophysical fluid dynamics, but also proposes some alternative methods and suggestions for efficient, stable and accurate simulations of global atmosphere.

本项目以高效、稳定、精确地数值求解正压大气浅水波方程为目标，研究和发展偏微分方程保结构算法的基本理论和应用理论。研究内容主要包含两个部分，第一部分是发展保结构算法的基本理论，包括各种构造方法和应用基础，着重考虑差分方法和拟谱方法。第二部分是研究正压大气浅水波方程组的各种保结构算法。首先全面考察该方程组的各种数学结构以及边界条件对这些结构的影响。然后基于这些数学结构，我们重点考虑三类保结构算法，分别是保辛几何结构的差分算法、各种保局部结构的差分算法、保结构的谱和拟谱方法。通过详细的数值试验和比较，本项目不仅会进一步完善保结构算法的基本理论,还将给出一套完整的有关正压大气浅水波方程的数学结构和保结构算法的研究报告。该报告将为系统地把保结构算法应用于计算地球流体力学的研究提供一般的理论基础，也将为更高效、稳定、精确的大气数值模拟提供方法和参考意见。

研究成果主要包含两个部分，一个是偏微分方程保结构算法的基础理论的发展，另一个是算法的具体应用。 .基础理论方面：我们着重完善了偏微分方程局部保结构算法的基础理论，特别是算法的构造理论和分析理论。 除了传统的差分和拟谱方法外，我们不仅将奇异卷积方法，径向基方法引入保结构算法的构造， 还将平均向量场方法引入了局部能量和局部动量守恒格式的构造，得到了一系列的局部保结构算法，其中一个重要的进展时基于一般多辛方程给出了两个保结构算法，该算法是继多辛Pressman格式和Euler-box格式之后的第三个和第四个一般多辛的方程的保结构算法。我们还建立了保结构拟谱离散的谱微分矩阵的谱估计，建立了诱导范数的等价性定理，从而给出了第一个保结构拟谱离散的误差估计。. 算法应用方面包含电磁波方程和各类水波方程的保结构算法的设计和实验。我们给出了三维电磁波方程的具有众多优良性质的数值算法并取得了很好的数值结果，并首先给出了三维电磁波方程多辛算法的数值分析结果以及基于空间拟谱时间分裂的保能量算法的误差估计。针对各类水波方程，得到了一些列的高效稳定的保结构算法，并成功模拟的各类孤立波的演化，怪波的形成，以及波破现象。我们解决了带有空间非局部算子的保结构算法构造问题，并成功应用于Benjamin方程的保结构算法的设计。 .课题组共完成相关论文28篇，正式发表标注文章25篇，其中Siam数值分析1篇，JCP 5篇，JSC2篇。 .另外，课题组也尝试了讨论有限元方法的保结构性质，特别是局部能量守恒性质，取得了初步结果，发表了SCI论文2篇。