无穷维哈密尔顿系统保结构算法的研究与应用

Structure-preserving algorithms for finite dimensional Hamiltonian systems are being perfected, and have been widely applied to the study of molecular dynamics, planetary orbits, and so on. However, the realistic problems such as the propagation of nonlinear waves, the evolution of electromagnetic fields often involve infinite dimensional Hamiltonian systems. The structure-preserving algorithms for such systems are still in the early stage, where there are many issues about fundamental theories and practical applications waiting to be solved. Therefore, this project further investigates the structure-preserving algorithms for infinite dimensional Hamiltonian systems wtih the following two parts. In the first part, we develop continuously the basic theory of structure-preserving algorithms for infinite dimensional Hamiltonian systems. There are three contents in the first part. The first one is the construction and analysis of structure-preserving algorithms for the equations under non-periodic boundary conditions. The second one is the construction and analysis of high-order local structure-preserving algorithms and their fast solvers. Here the emphasis is taken on the local energy-preserving algorithms. The third one is the investigation of structure-preserving properties of finite element methods and spectral Galerkin methods, as well as the associated multisymplectic algorithms and energy-preserving algorithms. The second part is for the applications of the new constructed algorithms to the simulations of nonlinear waves and electromagnetic waves. This project can not only improve the basic theory of the structure-preserving algorithms for infinite dimensional Hamiltonian systems, but also propose series of efficient and stable structure-preserving algorithms, as well as some valuable numerical results, for some problems in practical fields.

有限维哈密尔顿系统的保结构算法已经日趋完善，广泛应用于分子动力学、天体轨道等领域。而非线性波的传播，电磁场的演化等实际问题经常涉及无穷维哈密尔顿系统。对该系统的保结构算法研究处于起步阶段，仍有众多基础理论与实际应用问题函待解决。本项目着重从如下两方面深入研究无穷维哈密尔顿系统的保结构算法。一是继续发展无穷维哈密尔顿系统保结构算法的基本理论，重点考虑如下三方面内容：非周期边界条件下保结构算法的构造和分析；高阶局部保结构算法的构造、分析和快速求解，重点构造和分析高效和高精度局部保能量算法；有限元和谱Galerkin方法的保结构性质研究，以及基于这两种方法构造的多辛算法和能量守恒算法。二是研究新构造的保结构算法在非线性波方程和电磁波方程数值模拟上的应用。本项目不仅可以从理论上进一步完善无穷维哈密尔顿系统保结构算法，还将为一些实际问题给出一系列高效、稳定的保结构算法以及有价值的数值模拟结果。

本项目研究了无穷维哈密顿系统的保结构算法，完善和发展了保结构算法的基本理论，扩大了保结构算法空间半离散的方法，解决了非周期边界条件下保结构算法的构造问题，提出了一系列高效的能量守恒算法，并进一步将保结构算法推广到分数阶偏微分方程中。具体研究成果如下：.1.发展了局部保结构算法构造的一般框架。基于哈密顿偏微分方程的多辛形式以及复合构造方法，提出了局部保结构算法构造的一般框架，包括多辛算法、局部能量/动量守恒算法。进一步，以相场方程中的Cahn-Hilliard方程为例，我们将上述思想推广到构造保耗散的局部保结构算法。.2. 发展新的空间离散保结构算法。除了传统的有限差分、拟谱的空间离散方法，本项目还研究了有限元、谱元框架下的保结构算法，证明在这些框架下进行的空间离散依然具有守恒性。.3. 研究了非周期边界条件下保结构算法的构造。 以齐次Neumann边界条件为例，本项目讨论了非周期边界条件下保结构算法的构造问题，证明了在两套不同网格下空间半离散的守恒性，并指出边界条件对离散能量定义的重要影响，为进一步研究更一般边界条件下的保结构算法提供了思路。.4. 发展了一系列高效的能量守恒算法。基于二次化方法，本项目发展了一系列高效的能量守恒算法。此外，本项目还将二次化思想分别和指数积分子、投影方法相结合，发展了稳定性好且线性隐的指数积分子以及完全显式的高效能量守恒算法。基于分组的平均向量场方法，本项目还构造了可以解耦的保原能量守恒的高效算法。.5. 分数阶偏微分方程的保结构算法的构造和分析。将对整数阶偏微分方程的保结构算法的理论和构造方法成功推广到分数阶偏微分方程上，并在分数阶波动方程、分数阶薛定谔方程以及带耗散的分数阶波动方程上得到了具体的应用。本项目分别从算法的守恒性/耗散性、计算效率、误差估计这三方面展开研究。