几类奇异摄动问题的自适应移动网格方法及应用研究

Singularly perturbed problem widely exists in various engineering and technology fields, such as fluid mechanics, elastic mechanics, chemical reaction and optimal control, etc. Generally speaking, most singularly perturbed problems do not have exact analytic solutions, so approximation and numerical techniques must be used. Layer-adapted mesh approach and adaptive moving grid method are two main calculation methods for the numerical solution of singularly perturbed problems. Since the layer-adapted mesh approach need the priori information of the exact solution, it has certain limitation. However, there are rare researches on the adaptive moving method and the corresponding theoretical analysis. Therefore, based on finite difference or finite element method and previous studies, this project will study the adaptive moving grid approaches of two dimensional singularly perturbed problems, singular perturbation problems with two small parameters and singularly perturbed Volterra integral differential equations. By utilizing maximum value principle, Green’s function and polynomial interpolation techniques and so on, we will obtain the a posteriori error estimation and the corresponding mesh monitor function, and prove the uniform convergence of the numerical scheme. At last, based on tailored finite point method, we will attempt to extend the adaptive moving grid algorithm to the numerical simulation of MHD Duct flow problems with boundary layers and Helmholtz equations, and try to give the effective numerical results.

奇异摄动问题来源于各类工程和技术领域，如流体力学、弹性力学、化学反应和最优控制等。大部分奇异摄动问题没有解析解，必须采用有效的数值计算。层适应网格方法和自适应移动网格方法是数值求解奇异摄动问题的主要方法。由于层适应网格方法必须知道解的先验信息,因而存在一定的局限性。而目前对自适应移动网格方法及相应理论分析的研究还较少。因此，基于有限差分、有限元等数值方法，本项目将研究二维奇异摄动问题、含两个参数的奇异摄动问题及奇异摄动Volterra积分微分方程等问题的自适应移动网格算法, 利用极值原理、格林函数和多项式插值等技术，得到数值解的后验误差估计和相应的网格控制函数，并证明数值格式的一致收敛性。最后，基于裁缝有限点方法(tailored finite point method), 尝试将移动网格算法推广到带边界层的磁流体动力学管流问题和Helmholtz方程的数值模拟，力图给出有效的数值结果。

奇异摄动问题在流体力学、量子力学、最优控制、化学反应器等许多领域都有广泛的应用。由于这类问题的导数项包含一个或者多个摄动参数，因而导致这类问题的精确解具有多尺度特性，即在某些区域，解的变化非常快，而在其他区域变化比较缓慢。小参数的出现给这类问题的数值模拟带来一定的困难。.基于此，本项目首先研究了带积分边界条件的非线性奇异摄动问题、奇异摄动对流扩散方程组、奇异摄动Volterra积分微分方程(组)、奇异摄动Burgers-Huxley方程等问题的自适应移动网格方法。利用连续和离散的极大值原理、多项式插值，格林函数等技术，得到了数值方法的先验和后验误差估计。基于精确解的相关导数信息，进一步给出了半离散格式下自适应移动网格方法的一致收敛性分析。同时，利用后验误差估计，构造了近似的网格控制函数，并设计了相应的网格生成算法。.其次，本项目还将自适应移动网格算法应用到分数阶微分方程的数值模拟。针对Riemann–Liouville分数阶两点边值问题和一类非线性的Caputo分数阶初始问题，首先利用积分变换将其转化成积分微分方程，分别给出了连续解和离散解的稳定性。利用多项式插值，推导出数值方法的后验误差估计，并给出相应的自适应网格生成算法。这一研究可以进一步推广到其他类型的分数阶微分方程的后验误差估计及自适应移动网格算法。.最后，基于sinh变换，本项目还对奇异摄动问题的重心有理谱配置法进行了一定的探讨。为了给出边界层或内点层的具体位置以及宽度的计算方法，构造出以绝对误差最小为目标函数的无约束优化问题，并设计了相应的智能优化算法。数值试验结果表明本项目提出的方法既能精确的求出边界层的位置和宽度，又能让数值结果的精度达到谱精度。.总之，本项目的研究进一步完善了奇异摄动微分方程的自适应移动网格算法，给出了严格的理论框架，并将其应用到计算神经科学中的奇异摄动Burgers-Huxley方程的数值模拟。 同时，本项目对若干分数阶微分方程的自适应网格算法进行了初步的研究，为后续相关研究打下了一定的基础。