奇异摄动对流扩散方程的高阶谱配置法研究

Singularly perturbed problems arise from many branches of engineering and applied mathematics, including fluid mechanics, quantum mechanics, elasticity and optimal control and so on. The highest derivative terms of such problems contain small parameters whose solutions exist exponential boundary layer or internal layer. Due to the presence of boundary or interior layer(s), most singularly perturbed problems do not have analytic solutions, so approximation and numerical techniques must be used. As a result, a number of methods have been proposed and applied successfully to approximate singularly perturbed problems, such as finite difference method, finite element method and fitted operator method. However, there are rare published papers on the high accuracy spectral collocation method corresponding to the theory analysis. Thus, in this project, we will investigate high accuracy spectral method for the approximate solution of singularly perturbed problems. We shall design and analyze several efficient spectral collocations methods for solving singularly perturbed convection-diffusion equations. By choosing suitable approximation spaces and norms and using the asymptotic theory of the singularly perturbed problems, the decomposition of the solution, the maximum principle and the latest convergence of the orthogonal polynomial interpolation techniques, we analysis the priori error estimation of the exact solution, and derive the optimal priori error estimates and uniform convergence of the numerical method. At last, we will attempt to extend the spectral method to the numerical simulation of fluid mechanics with boundary layers, and try to give the effective numerical results.

奇异摄动问题起源于工程和应用数学的多个分支，包括流体力学、量子力学、弹性力学和最优控制等。这类问题的最高阶导数项含有小参数，其解存在指数边界层或内部层。由于边界层或内点层的出现，导致大部分奇异摄动问题没有解析解，必须采用有效的数值计算。目前大多研究有限差分、有限元方法和拟合算子等，对高精度的谱配置法及相应理论分析的研究还较少。因此，本项目将设计与分析几种数值求解奇异摄动对流扩散方程的谱配置法。我们将选择适当的逼近空间和范数，运用奇异摄动问题的渐近性理论、解的分解、极大值原理及正交多项式插值收敛性等技术，严格分析精确解的先验误差估计，进一步推出数值算法的先验误差估计和一致收敛性。最后，尝试将谱方法推广到带边界层的流体力学问题的数值模拟，力图给出有效的数值结果。

奇异摄动问题在流体力学、量子力学、最优控制、化学反应器等许多领域都有广泛的应用。由于这类问题的导数项包含一个或者多个摄动参数，因而导致这类问题的精确解具有多尺度特性，即在某些区域，解的变化非常快，而在其他区域变化比较缓慢。小参数的出现给这类问题的数值模拟带来一定的困难，尤其是高精度的数值方法。因此，利用Sinh变换，本项目重点研究了包含两个参数的奇异摄动对流扩散方程的重心有理谱配置法。为了给出边界层或内点层的具体位置以及宽度的计算方法，构造出以绝对误差最小为目标函数的无约束优化问题，并设计了相应的智能优化算法。数值试验结果表明本项目提出的方法既能精确的求出边界层的位置和宽度，又能让数值结果的精度达到谱精度。. 项目组成员还在带积分边界条件的非线形奇异摄动问题、奇异摄动抛物对流扩散方程组和奇异摄动反应扩散方程组的自适应移动网格方法方面的研究取得了一定的进展。利用多项式插值，格林函数等技术，得到了数值方法的先验和后验误差估计。基于精确解的相关导数信息，进一步给出了半离散格式的自适应移动网格方法的一致收敛性分析。同时，利用后验误差估计，构造了一个类似于弧长的网格控制函数，并设计了迭代算法来生成自适应网格。最后，一系列的数值试验验证自适应网格算法的有效性。. 我们还巧妙的将自适应移动网格算法应用到分数阶两点边值问题的数值模拟。针对Riemann–Liouville分数阶两点边值问题，首先利用积分变换将其转化成积分微分方程，分别给出了连续解和离散解的稳定性。然后，利用多项式插值，推导出数值方法的后验误差估计，并给出相应的自适应网格生成算法。这一研究可以进一步推广到其他类型的分数阶微分方程的后验误差估计及自适应移动网格算法。. 总之，本项目负责人刘利斌在访学期间，系统学习了高精度谱方法、自适应算法等方面的知识。在今后的研究过程中，力争在奇异摄动问题的谱配置法或谱元方法的误差估计及自适应计算方法方面取得系列进展。