几类奇异摄动系统的分支问题研究

Based on geometric singular perturbation theory and bifurcation methods in dynamcial systems, for several important singularly perturbed dynamical systems, this project will carry out the study on the following three bifurcation aspects. .1. With the tool of slow divergence integrals and utilizing some known results in singularity theory, bifurcations of limit cycles in singularly perturbed polynomial Liénard systems will be studied, in which, the limit periodic sets are multi-layer canard cycles. We aim to obtain the upper and lower bounds of the number of the canard limit cycles..2. Based on periodic transformations and averaging methods, by introducing the suitable Jacobian elliptic functions as the basic functions to describe the periodic manifolds in an explicit way, bifurcations of periodic solutions in higher-dimensional singularly perturbed near-Hamiltonian systems will be studied. As applications, some noninear oscillation models with slowly varying parameters and higher-order potential functions will be discussed, and the existence, stability and bifurcations of periodic solutions in these systems will be derived. .3. Based on geometric singular perturbation theory, Poincaré map and Melnikov integral, by introducing the suitable hyperbolic functions as the basic function to describe the homoclinic and heteroclinic manifolds explicitly, homoclinic and heteroclinic bifurcations in several three-dimensional singularly perturbed near-Hamiltonian systems will be studied, and the existence and the number of the pulse homoclinic and heteroclinic orbits in these systems will be obtained.

基于几何奇异摄动理论与动力系统分支方法，本项目针对几类重要的奇异摄动系统，开展如下三个方面的分支问题研究：.1. 以慢变散度积分作为工具，结合奇异性理论的一些已知结果，研究以多层鸭环为极限周期集的奇异摄动多项式Liénard系统的极限环分支问题，获得(鸭型)极限环最大个数的上下界；.2. 基于周期变换与平均法，通过引入适当的Jacobian椭圆函数作为基本函数来显式地表示周期流形，研究高维奇异摄动近Hamiltonian系统的周期解分支问题及其在若干带慢变参数及高次势能函数的非线性振动模型中的应用，获得系统周期解的存在性、稳定性及分支等；.3. 基于奇异摄动几何理论，结合Poincaré映射与Melnikov积分，通过引入适当的双曲函数作为基本函数来显式地表示同异宿流形，研究几类三维奇异摄动近Hamiltonian系统的同异宿分支问题，获得脉冲同异宿轨道的存在性与个数。

转向点问题是奇摄动系统局部失去双曲性的动力学问题。转向点的存在导致了许多新的分支行为，是近年来奇摄动动力系统研究的热点问题之一。. 本项目关注若干带有转向点的非线性奇摄动动力系统的分支问题，主要研究由于转向点的存在而导致的松弛振动、鸭解、鸭极限环（含有头鸭和无头鸭）以及脉冲同异宿轨道的存在性等问题。具体而言，本项目开展如下几个方面的研究：. 1)利用几何奇摄动理论、慢散度积分、渐近分析以及匹配等技巧，研究了若干奇摄动经典、广义Liénard系统的松弛振动、鸭极限环、最大鸭的存在性及其可能出现的最大个数问题；同时，将这些理论成果应用至含FitzHugh-Nagumo模型在内的若干生物数学模型，获得了这些生物模型松弛振动、鸭极限环等的存在性及其对应的参数条件；. 2)基于奇摄动理论中的快慢分解与匹配等技巧，研究了带有慢变参数的一阶非线性系统，分析了该系统流的快慢动力学性质，构造了流的一直有效近似并给出了误差估计；同时，将相关的理论成果应用至带慢变参数的Logistic模型，分析了慢变参数的存在所导致的新的动力学性质。. 3)基于几何奇摄动理论，结合Meilnikov方法与横截性理论，研究了带有慢扩散的耦合超临界Ginzburg-Landau方程波前解的存在性以及异宿鞍结分支现象和某些FitzHugh-Nagumo方程脉冲同异宿轨道的存在性问题。. 4)通过构造具有一定动力学性质的上下解函数，研究了带有转向点的奇摄动二阶半线性Dirichlet边值问题和一类二阶拟线性Robin边值问题鸭解的存在性问题；同时还构造了上述问题解的解析渐近近似，这方面的结果改进了Howes关于非双曲奇摄动边值问题的研究。. 通过本项目的研究，项目组深入认识到奇异摄动的真正含义以及奇异摄动下系统可能出现的更为奇异的行为，其中很多行为是正则摄动下无法产生的。很多现实的情形，例如带有慢变参数、慢扩散耦合等因素，都可以导致奇摄动常、偏微分系统的产生，从而导致解的行为产生多尺度时空效应与复杂模式，其解的分支行为的更为复杂、更加有趣。