Chebyshev-Tau无网格高精度方法在奇异摄动问题中的应用

This project focuses on the study of high-order accuracy numerical methods for singularly perturbed problems. High-order accuracy methods are a class of numerical algorithms which have exponential convergence rate. Among these algorithms, what we consider majorly is Chebyshev-Tau meshless method. This project firstly aims to optimize the ill-conditioned matrix issue which to use the classic Chebyshev-Tau method directly on singularly perturbed problems usually leads to. Secondly,based on the symptotic theroy of singularly perturbed problems, this project will combine Chebyshev-Tau meshless method with the Domain Decompostion technique together. This optimized and improved self-adaptive algorithm could give a good estimation of the locations and widths of the singularity and multisingularities. Thus, we obtain numerical approximations with high accuracy. The completion of this project will definitely build a solid base on Navier-Stokes questions.

本项目致力于研究高精度数值方法求解奇异摄动问题。高精度方法是指一类具有指数阶收敛速度的数值方法，我们重点考虑的是Chebyshev-Tau无网格方法。本项目首要解决的问题是优化传统Chebyshev-Tau方法面临求解奇异摄动问题时的病态矩阵条件数恶劣的问题。其次，我们将结合奇异摄动渐近理论，为克服这类高精度方法解决奇异摄动问题上的瓶颈问题，提出自适应区域分裂技巧与Chebyshev-Tau无网格方法结合，使得改进后的算法能够更加准确的定位出单个奇性或者多个奇性的位置及其性态，进一步给出具有高精度的数值解。项目的完成将为更好地解决Navier-Stokes方程等问题打下基础。

谱方法是求解偏微分方程的重要数值方法。它吸引人之处是大家称之为的“谱精度”，即收敛阶只与所逼近问题解的光滑性质有关。如果原问题的解是无穷光滑的，则收敛阶是指数阶的。这使得该方法能够与有限差分、有限元法成为偏微分方程的三大数值方法，与后两者相比使用较少的未知量可以达到高精度，具有更高的效率，因而值得深入研究。尽管谱方法具有指数阶收敛精度，但由于其离散问题时是基于在求解区域上整体采用高阶正交多项式展开进行逼近，因此缺乏灵活的区域适用性。当问题的真解在局部区域上呈现奇性层时，直接采用谱方法求解通常得不到满意的数值结果，会出现数值震荡。另一方面，对于奇异摄动问题的数值研究，已有的工作大多基于理论分析得到的先验误差估计，即已知奇性层所在位置和宽度信息的条件下进行。大量的实际问题目前还尚缺乏理论支撑对奇性层的位置等信息进行预先判断。本项目对一维奇异摄动问题采用高精度方法进行数值计算。主要成果是将基于最高阶导数逼近的Chebyshev-Tau无网格方法和区域分裂技术结合提出了一种自适应算法。基于最高阶导数的Chebyshev多项式展开的高阶项系数建立自适应算法的误差指标量，标记出需哪些区域需要细分，哪些区域保持不变，由此判断出奇性所在的位置。采用区域分裂技术使得Chebyshev-Tau无网格方法具备了灵活的区域适应性。实现在真解的奇性层位置和宽度等信息未知的前提下，借助基于最高阶导数逼近的Chebyshev-Tau无网格方法给出一个具有谱精度的数值逼近解。为了验证本项目提出的自适应区域分裂算法的有效性，选取了一系列典型的奇异摄动问题进行计算验证及其数值结果分析。由数值实验说明本项目研究的自适应算法，基于展开系数建立误差指标量，可以准确地捕捉到奇性层所在的位置。结合区域分裂技术的Chebyshev-Tau无网格方法也适用于求解区域上存在多个奇性层的问题，同时计算效果实现谱精度。