奇异摄动微分方程组及高维问题的自适应移动网格方法研究

Singularly perturbed problems commonly exist in kinds of engineering and technological areas, and efficient numerical methods can make those problems solved better in actual application. Adaptive moving grid approach is broadly applied in dealing with one-dimension singularly perturbed differential equations numerically, but rarely in dealing with systems of singularly perturbed differential equations and high-dimension problems. Recently, some scholars have gained innovative achivements in posteriori error estimate of adaptive moving grid method for one-dimension singularly perturbed differential equations. Based on finite difference approach, finite element method, etc., the adaptive moving grid algorithm for systems of　singularly perturbed differential equations and high dimensional problems will be lucubrated in this project. By using the maximum principle, Green function, polynomial interpolation techniques and so on, a posteriori error estimates of numerical solution will be obtained. Posteriori error estimate is the main theoretical basis of adaptive moving grid method. By a posteriori error estimate, we can choose a right grid monitor function to get a corresponding equidistribution problem and then construct a suitable iteration algorithm to implement the grids' adaptive moving procedures, so that the price of calculating is lowered down, the effeciency is improved and the reliablity of numerical results is assured. Finally, the existence of this equidistribution problem will be proved by fix point theorem.

奇异摄动问题普遍存在于各类工程和技术领域中，有效的数值方法可使奇异摄动问题在实际应用中得到更好的解决。自适应移动网格方法已被广泛地用于数值处理一维奇异摄动微分方程，但在奇异摄动微分方程组及高维问题的应用较少。近年来，一些学者在一维奇异摄动微分方程的自适应移动网格方法的后验误差估计方面，作出了创新性的成果。基于有限差分、有限元等数值处理方法，本项目将更深入地研究奇异摄动微分方程组及高维问题的自适应移动网格算法。利用极值原理、格林函数和多项式插值等技术，得到数值解的后验误差估计。后验误差估计是自适应移动网格方法的主要理论基础，我们通过后验误差估计来选择合适的网格控制函数，进而得到相应的等分布问题，然后构造合适的迭代算法来实现网格的自适应移动过程。从而减少了计算工作量、提高了计算效率，确保了数值结果的可靠性。最后利用不动点定理等技术来证明此类等分问题的存在性。

奇异摄动问题起源于工程和应用数学的多个分支，包括流体力学、量子力学、最优控制、化学反应器等。这类问题所对应的微分方程包含一个或者多个扰动参数，该参数可以反映一定的物理特性。这类问题的精确解具有多尺度特性，即在某些区域，解的变化非常快，而在其他区域变化比较缓慢。自适应移动网格方法在单个的一维奇异摄动问题的数值模拟中有着广泛地应用，但在奇异摄动微分方程组的数值解法方面应用较少。.基于有限差分、有限元等数值处理方法，本项目主要奇异摄动微分方程组的自适应移动网格方法，其项目成果在如下二个方面特别具有突破意义。第一，对于一类弱耦合的奇异摄动对流扩散方程组，我们利用多项式插值，格林函数等技术，得到了数值方法的先验和后验误差估计。利用后验误差估计，构造了一个类似于弧长的网格控制函数，并设计了迭代算法来实现网格的自适应移动过程。最后，给出自适应移动网格方法的一致收敛性分析。该成果完善了Linβ在SIAM J. Numer. Anal(2009)上发表的理论结果。在此基础上，我们进一步讨论了一类非守恒的强耦合的奇异摄动对流扩散方程组，给出了数值方法的后验误差估计和网格生成算法。第二，对于奇异摄动抛物对流扩散方程的自适应移动网格方法，目前大部分文献都是利用弧长控制函数，在每一个时间层上得到了一个非均匀的网格。我们在前面工作的基础上，获得了一个适合每一时间层的非均匀网格生成算法，并分析了数值方法的一致收敛性。这一成果极大的减少了计算代价，极大的丰富了自适应移动网格方法的研究成果。.本项目在SCI二区杂志《Journal of Scientific Computing》，《Applied Mathematics and Computation》，《Journal of Computational and Applied Mathematics》和《Communications in Computational Physics》上发表论文共6篇, 在应用数学和力学杂志《Advances in Applied Mathematics and Mechanics》上发表论文1篇，在工程数学杂志《Mathematical Problems in Engineering》上发表论文2篇。目前有近10篇论文被SCI收录。在项目执行期间，指导三名本科生获得了与本项目相关的国家级大学生创新项目一项(编号：