Teichmuller空间的边界性质

We'll study boundary properties of Teichmuller spaces.Mainly we'll study:(1)the horofunction boundaries of Teichmuller spaces with respect to various metrics on Teichmuller spaces, these metrics are: Teichmuller metric, Thurston's asymmetric metric, Fenchnel-Nielsn metric, Weil-Petersson metric. (2) the geometric properties of various boundaries of Teichmuller spaces.These boundaries are: Bers boundary, Gardiner-Masur boundary, Thurston boundary, Teichmuller boundary, the boundary corresponding to Weil-Petersson metric, and horofunction boundaries. (3) the convergence of Teichmuller geodesic rays about various boundaries and the characterizations of the limit points. This study will push forward the developments and appplications of Teichmuller theory.

本项目将研究Teichmuller空间的边界性质。主要是：（1）研究Teichmuller空间上各种度量的horofunction边界及其与已知边界的关系。这些度量包括Teichmuller度量、长度谱度量、Thurston拟度量、Fenchnel-Nielsen度量、Weil-Petersson度量及各种horofunctio边界等。（2）研究Teichmuller空间的各种边界的几何性质。这里牵涉到的边界包括Bers边界、Gardiner-Masur边界、Thurston边界、Teichmuller边界、Weil-Petersson度量所对应的边界及各种horofunction边界等。（3）研究Teichmuller测地线关于各种Teichmuller空间的边界的收敛性及其极限点在不同的边界上的的刻画。这些研究将有助于更好的理解和应用Teichmuller空间。

本项目主要开展了Teichmuller空间的几何与度量方面的研究，关键是围绕Teichmuller空间的边界性质开展有关研究。证明了Teichmuller空间上的关于Teichmuller度量的horofunction边界同构于Gardiner-Masur边界。对于带边曲面的Teichmuller空间，得到其上关于Thurston度量的horofunction边界的刻画。得到拟共形Teichmuller空间与长度谱Teichmuller空间的关系。证明了Thurston度量关于随机游动的sublinear tracking性质。首先定义了Teichmuller空间上的一个Hilbert度量，并研究了earthquake流关于该度量的边界收敛性质。证明了长度谱度量和arc度量在Teichmuller空间的thick部分是几乎等距的。得到了Teichmuller空间上关于Thurston度量的模群作用的刻画。证明了带边曲面的Teichmuller空间上Teichmuller度量和长度谱度量是几乎等距的。在某类无穷型曲面的Teichmuller空间上首次定义了Thurston度量，并得到其一些性质。 研究了earthquake流和horocycle流关于Teichmuller空间的边界的收敛性质，证明了对于简单闭曲线及一致遍历的叶状结构对应的earthquake流和horocycle流关于Teichmuller空间的边界的收敛性。证明了极值长度函数在Teichmuller空间上是多次调和的。证明了Teichmuller空间的thick部分不是凸的。得到了无穷维Teichmuller空间上有关三角形的一些几何性质。证明了在Teichmuller空间上，关于Teichmuller度量一般不存在角度，由此证明了具有Teichmuller度量的Teichmuller空间不是CAT(k)空间。研究了带锥点曲面的Teichmuller空间，得到其上的一些几何与度量性质。证明的Douady-Earle扩张不总是调和映射。得到AdS流形的一些同构性质及关于局部严格凸的常高斯曲率曲面的唯一可叶状化结果。我们得到的研究成果有助于更好地理解Teichmuller空间，有望在Teichmuller空间及相关学科的研究中得到好的应用，并促进Teichmuller空间及相关学科的向前发展。