Teichmuller空间的度量性质

The research project will study the metric properties of Teichmuller spaces. Mainly we'll study the Thurston metric in Teichmuller spaces. We will study the following: (1) for Teichmuller spaces of infinite type surfaces, we will study whether the Lipschitz constant for two infinite type hyperbolic surfaces can be realized by the supremum of the ratios of the lengths of all the closed curves and arcs; whether we can define Thurston metric in these Teichmuller spaces; whether there exist a geodesic realize the Lipschitz constant for two infinite type hyperbolic surfaces, etc. (2) for Teichmuller spaces of finite type surfaces, we will mainly study the properties of the geodesics for Thurston metric (Thurston geodesic). For example, the characterization of Thurston geodesics in moduli space; the existence of dense Thurston geodesic in moduli space; the characterizations of the geodesic flow for Thurston metric; the sufficient and necessary conditions for the distance between two Thurston geodesics to be bounded; the Thurston metric for the space of flat metrics on Riemann surfaces, etc.This study will push forward the developments and applications of Teichmuller space.

本项目将研究Teichmuller空间的度量性质，主要研究Thurston度量。具体如下：（1）对于无穷型曲面的Teichmuller空间，将研究两个无穷型双曲曲面之间的Lipschitz常数是否可以由所有的相应的曲线和弧的长度之比的上确界达到、该空间上是否可以定义Thurston度量、两个无穷型双曲曲面之间是否存在测地线实现相应的Lipschitz常数等。（2）对于有限型曲面的Teichmuller空间，我们将主要研究关于Thurston度量的测地线（Thurston测地线）的性质。包括是否存在模空间中稠密的Thurston测地线、给出Thurston测地线在模空间的分类、给出两条Thurston测地线之间距离有界的充要条件、关于Thurston度量的测地流的刻画、平坦度量空间上的Thurston度量等。这些研究将有助于更好的理解和应用Teichmuller空间。

Teichmuller空间及相关研究领域是非常活跃并且广受关注的研究领域，其相关研究牵涉到复分析、几何拓扑、微分几何等学科。 本项目主要开展了下面几方面的研究：Teichmuller空间的几何与度量方面的研究；Teichmuller空间与Ads几何相互结合的研究；测地映射有关的研究；几何中的极小面积问题的研究等等。 本项目研究主要得到下列研究成果：（1）证明了在Teichmuller空间上，Teichmuller度量在亚历山大意义下的角度不是总是存在的；证明了Douady-Earle扩张不是调和映射；在某一类无穷型曲面的Teichmuller空间上定义了Thurston度量；定义了Teichmuller 空间的一种新的紧化-pluripotential紧化等等。（2）证明了具有粒子的双曲end、具有粒子的双曲2+1时空和具有粒子的Ads时空的常平均曲率曲面叶状化的存在性等等。（3）证明了双曲pant之间的测地映射是等距映射；证明了圆盘上的带锥点的欧式度量之间的测地映射是等距映射；证明了一定条件下Teichmuller空间关于Teichmuller度量之间的测地映射是等距映射；（4）解决了一定条件下共形锥的极小面积问题。这些研究成果具有很好的学术价值和理论意义，有望应用于相关领域的研究。