基于有限环的量子纠错码理论研究

The current theory of quantum error-correcting codes is based on the finite fields. For a q-levels quantum system its base states are represented by the q elements of the finite field GF(q), which establishes the connection between the quantum codes and the finite fields. So the theory of finite fields can be used to study the quantum codes, which, though, dose not apply to arbitrary quantum system because there do not exist finite fields for all levels. We find the problem lies in the strong constraint of the structure of finite fields when representing quantum systems. Moreover we find it is not necessary to do so. We can represent the quantum systems by the more flexible structure of finite rings, which is general as it applies to all quantum systems. For example, for a quantum system with 6 levels, we have no means to represent it by the finite field, but we can do that by using the integer ring of order 6. In this project, we attempt to study this theory of quantum error-correcting codes over finite rings, which can overcome the drawback above. More importantly, this research will rich the content of quantum error-correcting codes theory. Our scheme is as follows. We shall represent the base states of the quantum system by the ring elements, describe the quantum state space by the ring structure, present the properties and constructions of the quantum codes by the ring theory, and finally establish the theory of quantum error-correcting codes over finite rings.

现有的量子纠错码理论都是在有限域的基础上构建的。但这样做是有缺陷的：这种方法并不适用于所有的量子系统，因为并不是任意阶的有限域都存在。我们发现问题的根源在于使用了约束很强的有限域这种代数结构来表示量子系统。而且这样做是没有必要的。我们完全可以用更加灵活的有限环这种代数结构来表示量子系统。而且这种方法对于任意量子系统都有效。例如，对于一个6维量子系统，我们无法用有限域来表示他，因为不存在6阶的有限域，但是我们却可以用6阶整数环来表示他。在本项目中，我们拟研究这种基于有限环的量子纠错码理论。该研究不仅可以完美解决以上缺陷，更重要的是，该研究将极大丰富量子纠错码理论的内容。我们拟采取的方案是用环中的元素来表示量子系统的基态，从而用环的代数结构来描述量子状态空间，进而利用环理论来推导出量子码的新的性质和构造方法，最终建立起基于有限环的量子纠错码理论框架。

现有的量子纠错码理论都是在有限域的基础上构建的。但这样做是有缺陷的：这种方法并不适用于所有的量子系统，因为并不是任意阶的有限域都存在。我们发现问题的根源在于使用了约束很强的有限域这种代数结构来表示量子系统。而且这样做是没有必要的。我们完全可以用更加灵活的有限环这种代数结构来表示量子系统。而且这种方法对于任意量子系统都有效。例如，对于一个6维量子系统，我们无法用有限域来表示他，因为不存在6阶的有限域，但是我们却可以用6阶整数环来表示他。在本项目中，我们拟研究这种基于有限环的量子纠错码理论。该研究不仅可以完美解决以上缺陷，更重要的是，该研究将极大丰富量子纠错码理论的内容。我们已经取得了以下重要结果：我们建立了基于有限环的量子稳定子码的理论框架。我们构造出了合适的差错模型，从而建立了量子码与经典码之间的联系。利用这一联系，我们构造出了基于有限环的量子循环码，量子汉明码，量子BCH码等。我们还得到了关于有限环量子码最小距离的上下限。