基于级联形式的量子纠错码构造

Quantum error-correcting codes not only realize quantum information to be transmitted reliably on quantum channel with noise, but also guarantee the parallel computation in quantum computer. One central theme in quantum error-correction is the construction of quantum error-correcting codes that have maximal minimum distance. This project studies the construction of quantum stabilizer codes based on concatenated method. On one hand, by applying constacyclic codes over finite fields, good quantum stabilizer codes and asymptotically good quantum codes are constructed through concatenated form under a given basis. On the other hand, by applying linear codes over finite rings, good quantum stabilizer codes and asymptotically good quantum codes are constructed through concatenated form under a given map. The object of this project is to improve the previously known parameters of quantum stabilizer codes and overcome the paradox between the error-correcting performance and the decoding complexity of quantum codes. This project enriches the theory of quantum error-correcting codes and provides an important theoretic guarantee for the reliability of information transmission. The further study of this project may promote the development of information technology and national economic.

量子纠错码能实现量子信息在有扰的量子信道上可靠传输，同时能保证量子计算机的并行计算。量子纠错理论研究的一个中心问题是构造具有最大的最小距离的量子纠错码。本项目基于级联方法研究量子稳定子码的构造，主要从两方面入手展开研究：一方面，利用有限域上常循环码在给定基下以级联形式构造参数较好的量子稳定子码与量子渐进好码；另一方面，利用有限环上的线性码在给定映射下以级联形式构造参数较好的量子稳定子码与量子渐进好码。本项目旨在通过级联的方法改进现有已知的量子稳定子码的参数与克服量子码的纠错性能与译码复杂度之间的矛盾。本项目的研究将丰富量子纠错码理论，为实现量子信息可靠传输提供重要理论保障，它的深入研究势必推动信息技术乃至国民经济的发展。

随着量子信息技术的飞速发展，量子信息传输的可靠性成为一个亟待解决的问题，量子纠错码被证明是克服量子信道干扰的有效编码方案，为量子传输提供重要理论保障。构造性能良好的量子纠错码是量子纠错理论研究的重要课题。本项目基于级联方法构造参数良好的量子纠错码。首先，研究了有限域上各种长度的常循环码及其厄米特对偶码的生成多项式、极小距离和维数，构造了参数良好的量子纠错码，探讨了有限域上常循环码在给定基下的像；利用有限域上常循环码和广义RS码构造了最优不对称量子码、最优辅助纠缠量子码和量子同步码等新型量子纠错码。其次，建立有限环R=F2m+uF2m+…+uF2m到有限域F2m上向量空间的等距映射，研究了有限环R上的循环码在等距映射下的像，得到了自正交级联码，从而构造了参数良好的量子码；同时，以R上循环码作为内码，F2m上线性码作为内码构造量子级联码。最后，研究了有限域上常循环码的应用，利用有限域上常循环码构造了最大距离可分(MDS)符号对码和最大距离可分(MDS)对偶互补(LCD)码，利用有限域上循环码和负循环码构造了极小距离为4的最优线性码和少重量的线性码。本项目得到了许多性能良好的量子纠错码，特别是量子常循环码，这类码容易使用量子移位寄存器进行编译，因此在量子信息传输中具有广阔的应用前景。本项目不仅丰富了经典纠错码和量子纠错码理论，而且为数字和量子通信的可靠性提供理论支撑。