有理映射的参数空间

This project is devoted to study the arithmetic properties of parameter space of rational maps and the toplogical structure of hyperbolic components. We will study three problems: . 1. The arithmetic properties of the Milnor curve in the moduli space of quadratic rational maps, we shall show that there are only finitely many postcritically finite maps on each Milnor curve. .2. For the Cantor circle locus, that the hyperbolic component consisting of rational maps with Cantor circle Julia sets, we study its topology and describe its fundamental group..3. We study the boundary regularity of the hyperbolic components of cubic Newton maps. The proof involves the stability of the cut rays, holomorphic motion and the rigidity results. We will show that all hyperbolic components are Jordan domains.

本项目将研究有理映射参数空间的算术性质和双曲分支的拓扑结构. 我们主要研究三方面的问题：对于二次有理映射模空间的Milnor曲线，我们研究其算术性质，证明其包含的临界有限映射的有限性；对于一类Julia集不连通的双曲分支Cantor circle locus, 我们将研究其整体拓扑，刻画其基本群；对于三次Newton迭代映射，我们将利用cut ray的稳定性，全纯运动，刚性结果来研究双曲分支的边界，证明每个双曲分支的边界都是Jordan曲线。

本项目主要研究复动力系统中有理映射参数空间的拓扑与分岔。主要内容为三方面：对于重要的一类有理映射McMullen映射，证明了所有双曲分支的边界都是简单闭曲线，由此解决了Devaney提出的一个公开问题；对于三次多项式的Newton迭代映射，证明了所有双曲分支的边界都是简单闭曲线，利用组合结构，肯定了谭蕾提出的一个猜想；对于有理映射模空间非连通迹中的双曲分支，证明了Cantor circle 型双曲分支都是高维欧式空间与高维环面乘积空间的有限商空间。