金融数学中与随机控制相关的自由边界问题

It is needed for advanced knowledge of partial differential equations in stochastic control,partial differential equation becomes an important tool for studying mathematical finance. The development of this branch is already more than ten years,some problems in mathematical finance are successfully solved by PDE methods. Now our research goal is free boundary problems with financial background and with some difficulties in partial differential equations. In this project we plan to study three free boundary problems in stochastic control. The first one is to find the behaviors of free boundary of Barenblatt equation. The second one is a free boundary problem for Barenblatt equation with gradient constraint. The last one is a two dimensional free boundary problem with function and gradient constraints.Those problems are HJB equations of (singular) stochastic control with financial background. In some sense these problems are difficult open problems in PDE. Research works for these problems not only devolops the theory of PDE, strengthen the connection between stochstic analysis and patial differential equations, but also possess guidance meaning in finance.

由于在随机控制中需要用到比较深入的偏微分方程的知识，因此偏微分方程已成为研究金融数学的一个重要工具。在国内这个分支的发展已有十几年的历史，也成功地研究了金融数学中的一些大大小小的问题。时至今日，我们的目标是瞄准那些有金融意义，又具有偏微分方程一定难度的自由边界问题。在本项目中我们计划研究如下三个与随机控制有关的自由边界问题。第一个问题是Barenblatt方程的自由边界性质研究；第二个问题是具有梯度约束的Barenblatt方程及其自由边界性质的研究；第三个问题是既有函数约束，又有梯度约束的二维抛物变分不等式及其自由边界性质的研究。以上三个问题都是具有金融背景的（奇异）随机控制问题对应的HJB方程，是在偏微分方程领域具有一定难度的开问题，研究这些问题不但丰富和发展非线性偏微分方程的理论，加强随机分析与偏微分方程的沟通和联系，而且在业界也具有指导意义。

本项目致力于具有金融背景的与随机控制相关的自由边界问题。在金融数学中存在大量的随机控制问题，如风险管理，投资消费。利用动态规划原理，这些问题转化为偏微分方程问题。如果随机控制是奇异的，则对应着偏微分方程中的自由边界问题。4年来，我们对风险管理和投资消费中的一些重大问题作了深入的数学分析，对其中的自由边界的性质进行了精确的描述。在SCI杂志上发表了20篇论文。收得到的结果在偏微分方程的理论和金融领域的应用都具有意义。