金融数学中与风险控制有关的自由边界问题

In this project, a stochastic optimal control model with diffusion control is abstracted from the background of assets management problems for financial companies, and it is transformed into a free boundary problem of partial differential equations or corresponding variational inequalities by using the principle of dynamic programming. The free boundary is the boundary between the corresponding region of linear (or quasilinear) equation and fully nonlinear equation. The research results in this project can not only provide qualitative and quantitative basis for financial companies' decision-making, but also greatly enrich the free boundary theory of fully nonlinear equations and create many general methods to solve such problems.

本项目以金融公司的投资理财问题为背景，抽象出一类带有扩散项控制的随机最优控制模型，并利用动态规划原理将之转化为偏微分方程或相应的变分不等式的自由边界问题。自由边界为线性（或拟线性）方程和完全非线性方程对应区域的交界线。本项目的研究成果不仅可为金融公司的决策提供定性定量的依据，同时也将极大地丰富完全非线性方程的自由边界理论，创造出许多解决此类问题的一般方法。

本项目以金融公司的投资理财问题为背景，抽象出一类带有扩散项控制的随机最优控制模型，并利用偏微分方程技术来研究对应方程和变分不等式的自由边界问题。本项目经过三年的研究，基本按计划完成了预定目标，证明了项目书中提出的四个定解问题解的存在唯一性，分红自由边界的单调性、有界性和光滑性，以及风险控制自由边界在特定条件下的存在性和光滑性，并将模型和方法进行了延申扩展，对相关模型的研究也取得了一些成果。在本项目资助下共发表了9篇论文，其中SCI收录8篇。本项目从偏微分方程的角度，创造了一种研究具有扩散项控制的随机最优控制问题的方法，探索出了一系列处理此类问题的偏微分方程技术，为后续研究相关问题提供了新的思路。