组合序列的q,t-模拟及其与对称函数之间关系的研究

In this study, we plan to carry out the research on the q,t-analogues of combinatorial sequences and their relation with symmetric functions. We also plan to generalize the corresponding combinatorial identities. To do that, we will first use some combinatorial structures, e.g. paths, polyominoes, forbidden permutations and the corresponding statistics to get some meaningful q- and q,t-analogues of the sequence. The relations between different analogues will be explored. Then Using Nabla operators, Hall-Littlewood functions and Macdonald polynomial theory, we plan to give expressions for the q,t-analogues through symmetric functions. To do that, we need to use knowledge and methods both in combinatorics and symmetric function theory. Last, we will study the relation between q,t-analogues and a bi-graded module called diagonal harmonics.

本项目计划研究组合序列的q,t-模拟形式及其与对称函数之间的关系，推广相关的组合恒等式。首先，我们将运用格路径、多联方块、有禁排列等组合结构及相关的组合统计量等工具来研究组合序列的各种q-与q,t-模拟形式，探讨不同模拟之间的关系并给出组合证明。其次，通过对称函数空间上的Nabla算子理论、Hall-Littlewood对称函数、Macdonald多项式理论等，寻找q,t-模拟形式的对称函数表达式，从而将组合序列与对称函数结合起来，实现数学分支领域的交叉研究。 最后，研究组合序列的q,t-模拟形式与双分次模diagonal Harmonics之间的关系。

在本项目中我们重点研究了组合多项式及其q-与q,t-模拟形式之间的相互关系，以及相关的组合恒等式等问题。我们的主要成果之一是研究了q-染色Motzkin多项式与q-染色Schröder多项式并给出组合解释和相关性质，通过格路径以及Motkzin圈等组合结构给出q-染色Motzkin多项式与Catalan数之间关系的恒等式的组合证明，证明了q-染色Motzkin多项式构成一个Appell序列，并借助Bessel函数给出其指数型生成函数，还证明了q-染色Motzkin多项式与q-染色Schröder多项式的所有非零系数均为Pólya frequency序列。我们的另一个主要成果是研究了q,t-Catalan多项式，q,t-Motzkin多项式和q,t-Schröder多项式之间的相互关系，通过对应的加权格路径建立并证明了描述三者之间关系的组合恒等式和同余式，给出了格路径上不同统计量之间蕴含的相互关系。此外，由于可以借助矩阵等式来研究组合恒等式，我们还研究了双随机矩阵构成的凸多面体以及组合矩阵的积和式，探索其具有的代数和组合方面的性质，证明了一系列的不等式，目的是借助此类对象为进一步深入研究和探讨组合多项式以及对称函数理论增添新的研究方法和研究内容。