组合同余式的q-模拟

Combinatorial congruences are referred to the congurences for sums of combinatorial numbers. Combinatorial congruences have been an important research project in recent years. The aim of this project is to study q-analouges of combinatorial congruences by using the q-series theory, such as the q-Chu-Vandermonde identity and the Andrews identities. The main contents of this project includes: to give congruences of sums of some polynomials such as the q-binomial coefficients, the q-Catalan numbers, the q-Narayana numbers, the q-Fibonacci numbers; to give some q-analogues of the known combinatorial congruences; to solve or make progress in the conjectures on q-congruences proposed by Professor Zhi-Wei Sun or Professor Robert Tauraso; to give some q-analogues of the van Hamme congruences.

组合同余式是指一些组合数之和的同余问题。组合同余式问题是近年来组合数论的一个重要研究课题。本项目是要利用q-级数理论，如q-Chu-Vandermonde恒等式，Andrews恒等式来研究组合同余式的q-模拟。主要内容有：研究q-二项式系数、q-Catalan数、 q-Narayana数、q-Fibonacci数等多项式之和的同余式问题; 给出一些已有的组合同余式的q-模拟； 解决或推动孙智伟教授提出的和Robert Tauraso教授提出的一些q-同余式猜想；给出van Hamme同余式的一些q-模拟。

组合同余式的q-模拟是组合数学和数论的一个重要研究课题。本项目主要利用q-级数理论来研究二项式系数和其它各类组合数之和的同余式的q-模拟问题。本项目我们共在国际数学刊物上发表论文55篇。运用q-WZ方法，给出了Van Hamme的(L.2)、（J.2）等同余式的q-模拟或部分q-模拟，证明了一些与中心q-二项式系数的四次方有关的同余式，以及Guillera-Zudilin的一个奇异同余式的q-模拟。与Zudilin合作，提出了增加参数和利用单位根的逼近来证明q-同余式的新方法（创造性q-显微镜方法），可以用来处理一大批q-同余式问题。给出了一些Dwork类型的超同余式的q-模拟，完全解决了Swisher提出的（B.3）和（I.3）猜想，部分解决了她提出的（A.3）、（C.3）、（E.3）、（F.3）、（H.3）、（J.3）和（L.3）猜想；给出了孙智伟猜测的一个超同余式的q-模拟；给出了两个“发散”的Ramanujan类型的超同余式的q-模拟。利用q-显微镜方法和关于多项式的中国剩余定理，证明了几个模分圆多项式四次方的q-同余式。我们得到一些关于截断基本超几何级数模分圆多项式的q-超同余式，给出了孙智伟的两个超同余式的一些q-模拟，证明了几个双重和的q-同余式。我们给出了几个与欧拉数有关的超同余式的q-模拟，给出了Van Hamme的（H.2）超同余式的各种推广和加细。利用基本超几何级数的各种变换公式，证明了一些新的q-同余式，同时我们还提出许多q-超同余式猜想。总而言之，本项目的研究较好地推动了q-超同余式的发展。