对称函数中的组合方法

对称函数理论是目前组合数学研究热点之一。组合方法对揭示对称函数的本质和性质有着重要的作用，有助于我们了解对称函数在物理方面的背景和应用。国际数学家大会一小时报告者I. G. Macdonald提出的多项式是组合数学家非常关注的课题，与代数几何，交换代数有密切的关系。Schubert多项式也与组合数学有密切关系，同时还与Yang-Baxter方程，Hecke代数有密切关系。组合方法往往能给出精巧的构造，从而得到相关的代数等式。我们建立了行列式和格路径的一个一一对应，从而给出了Cauchy定理的一个漂亮的证明。我们将研究差分算子和齐次差分算子的组合意义，也就是探讨它们在格路径上的作用。通过引进切割带的概念，解决了Goulden的一个问题。我们计划对上述问题进行进一步的研究，特别是研究有几何背景的Schubert多项式。