与辫子群有关的几个问题的研究

We plan to study the following three problems related to braid groups... (1) The word problem and K(∏,1)problem of certain special class of infinite type Artin groups. The K(∏,1)problem of Artin groups is one of the most important open problem in Geometric group thoery.We hope to solve this problem for some unknown special cases. These cases we choose are the Artin groups whose Dynkin diagram is of star shape. We plan to study this problem through the action of these Artin. groups on certain Groupoids on certain surfaces constructed by Crisp and Paris[8]... (2) Continue the study of generalized Brauer algebras and generalized BMW algebras. .As the further generalization of the works of Haring-ordenberg, Cohen- -Wales, we defined a brauer type algebra for every Dynkin diagram and every pseudo reflection group. In [22] we defined the deformations of those Brauer algebras correponding to Dynkin diagrams. For the next step, we plan to study in detail these new algebras, including the dimension, semisimplicity, cellularity, etc. The applicant and his collaborator also want to construct a quasi heredity cover for finite type generalized BMW algebras, as a imitation of Rouquier's celebrated work[16] on quasi heredity cover of Hecke algebras. We also plan to study the possibility of categorifing BMW algebras, with the purpose of application in topology... (3) On the base of obtaining some concrete result from the research on above two problems, we study the flourishing categorification theory in representation theory and topology in reccent years. Especially we want to study the categorification of representations of braid groups and Knizhnik-Zamolodchikov equations.

计划围绕以下三个与辫子群相关问题开展研究。.（1）特殊Artin群的语问题和K(∏,1)问题。此问题的一般情形是几何群论重要的未解决问题。希望能够对一些未知的特殊情形取得积极成果。申请人选择的是结构相对简单的星型的Dynkin图。计划途径是通过Paris 在文【8】中构造的Artin群在某种Groupoid上的作用。.（2）广义Brauer代数以及广义BMW代数的研究。近年来代数学家引进了许多新的Brauer型代数及BMW型代数。这些代数有良好的结构，且与超几何函数等领域密切相关。计划进一步研究这些新代数的结构。 现和他人共同研究对有限型的广义BMW代数定义拟遗传覆盖,以作为Rouquier在Hecke代数方面开创性工作【16】的推广。同时也研究BMW代数范畴化的可能性。. （3）系统地研究近年来被发现的辫子群在各种由辛几何，李理论构造出的导出范畴上的作用。特别关注它们与 KZ方程的关联。

本次项目主要研究与辫子群有关的如下几个问题：Artin群的K(pi,1)问题，辫子群表示的范畴化，与辫子群有关的一些代数的结构，例如广义Brauer代数。.辫子群是一种重要的研究对象。它起源于拓扑学，但是与数学物理，奇点理论等分支都有密切的联系。同时，围绕辫子群有许多相关的研究对象，例如Artin群，映射类群，Hecke代数等等。拓扑学家还引进了辫子的配边，使得辫子群在某种意义上扩大成一个辫子2范畴。这种观点在范畴化理论中起到了很大作用。本项目的研究主要取得了如下进展：.（1）完全确定了H,F,B型，以及G(m,p,n)型Brauer代数的结构和不可约表示（一般参数下）。. .（2）找到了广义Brauer代数的变形，即广义BMW代数的典范表现。这些新的广义BMW代数的典范表现具有和BMW代数完全类似的形式。预想利用广义BMW代数及其典范表示可以写出广义Lawrence-Krammer表示的具体形式，从而可以对它们与Garside构造之间的关系做进一步研究。..（3）引进了一种超平面配置的变形，通过它能够构造出一种Configuration空间上的新的纤维丛。这些纤维丛的纤维同样是某类超平面配置的补空间。正在对这些纤维丛可能引出的辫子群表示及其拓扑上的应用作进一步研究。.（4）仿照辫子群中的辫子配边，我们尝试从代数上和拓扑上引进了一般Artin群的配边。.（5）作为一个研究辫子群的相关结果，对每一个有限群和每一个紧群引入了一个交换结合代数。 这些我们但是从这些代数出发能够得到一些看待有限群表示论的不同视角。.（6）引进了一种Thom猜想的推广版本。它是有关某些非紧光滑四维空间中的光滑曲面亏格。