黎曼流形上曲率流的几何性质及应用

在微分几何中，怎样了解给定的流形的几何和拓扑,尤其是低维流形的几何和拓扑，一直是一个重要的问题。至今为止，对流形的几何和拓扑的关系的研究还远未完成。 近三十年来，研究这个问题的一个强有力的工具就是曲率流。用曲率流来研究流形的几何性质，在微分几何的蓬勃发展中起了非常重要的作用，是一个国际热点,也是微分几何中的一个基本重要的理论。曲率流理论中的一个关键问题就是怎样了解奇点的结构，而了解奇点的结构又取决于对soliton的了解程度，所以对soliton的了解对了解流形的结构是十分重要的。在本项目中，我们将研究曲率流下流形的奇点结构问题和soliton的分类问题，并且根据所得到的结果研究流形的几何和拓扑的关系，从而得到在某些曲率条件下的流形的分类。

在该项目中，项目组成员基本围绕项目申请书的主要内容，并按照项目申请书中的工作计划有效地开展了研究工作，对项目申请书中提出的问题开展了有效的系统的研究。根据国际上的最新进展，我们还组织讨论班系统学习了曲率流理论，充分研究了在曲率流下流形的变化情况，并且已经取得了一定的成果。具体如下：（1）复几何方面：我们将广义Frankel猜想进行了推广，利用Ricci流，得到了在正交的全纯双截面曲率条件下的Kahler流形的完全分类，并且给出了广义Frankel猜想一个完全分析的证明，这也完全回答了莫毅明在他的文章中所提出的问题。该结果发表在Science in China Math.，2010.05.（2）实几何方面：我们利用Yamabe流，在Ricci曲率条件下，给出了一个微分球定理，得到了一种新的Bonnet-Myers型结果。 该结果发表在 Acta.Math.Sci, 2010.5.（3）极小子流形方面：我们研究了单位球面中具有常平均曲率的闭超曲面，计算得到了第二基本形式的一个新的等式， 并且利用该等式去得到了一个关于该曲面的新的gap定理。这个结果推广了Cheng Q.M他们的结果，发表在Glasgow Math. J. 2012.1。在这方面，我们还得到了S^5(1)中的具有常数量曲率的Willmore极小超曲面的一个结果。这个结果体现在我们的文章 Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in S^5(1) are isoparametric (submitted)中。（4）Soliton方面：我们构造了广义Ricci流下的canonical soliton。Perelman的构造中是需要到无穷维，而我们的构造只需要有限维数。这个结果体现在我们的文章Canonical solitons associated to generalized Ricci flows（Accepted）中。