曲率流下流形分类问题的研究

This project belongs to the field of the morden differential geometry and analysis, it mainly studies the geometric and topological structure of the manifolds. In this project, we will study the singularity structure under the Ricci flow; classify part of the four dimensional and higher dimensional Riemannian manifolds; try to solve the structure of the manifolds under the isotropic curvature and the sectional curvature. We expect and believe that this study can help us to understand the structure of manifolds.

本申请项目属于现代微分几何与分析领域，主要研究流形的几何结构和拓扑结构。我们将在该项目中，探讨Ricci 流在四维流形上的奇点结构；分类部分的四维及高维的流形；尝试解决在迷向曲率条件下和截面曲率条件下流形的结构问题。我们期望对该问题的研究可以丰富我们对流形分类的认识，这将具有重要的意义。

在该项目中，项目组成员基本围绕项目申请书的主要内容，并按照项目申请书中的工作计划有效地开展了研究工作，对项目申请书中提出的问题开展了有效的系统的研究。根据国际上的最新进展，我们还组织讨论班系统学习了曲率流理论和极小曲面理论，充分研究了在曲率流下流形的变化情况，并且已经取得了一定的成果。具体如下：（1）我们构造了三维的完备非紧的光滑流形，但是在这上面并不存在Ricci流的解。这个对我们进一步研究Ricci流的解的情况有很大的帮助。该结果发表在J.Math.Study上。（2）在极小子流形方面：我们证明了S^5(1)中任何闭的具有常数量曲率的Willmore极小超曲面一定是等参的。具体来说，M^4 要么是四维的球，要么是乘积空间S^2 (√ 2/2) × S^2 (√ 2/2)，要么是Cartan极小超曲面。特别地，第二基本形式只能是 0，4，12。这个结果支持陈省身的猜测是正确的。(3) 在soliton方面，我们得到了关于四维的gradient shrinking soliton 的一个新的gap定理，这将有助于我们更好的了解四维的soliton，从而来了解四维流形的结构。