混合系统的若干动力学问题研究

为丰富动力学与控制理论，深化非光滑系统的基础研究，认识动物昆虫行走机理，研究如下内容： .1、运用计算机数值方法和代数拓扑中新发展的计算同调论理论和动力系统的拓扑方法Conley指标理论来研究混合（哈密顿或拉格朗日）系统的稳定周期运动和其稳定性，发展非光滑系统Poincaré映射计算的几何算法；2、运用现代微分动力系统和拓扑理论建立混合系统结构稳定性（或鲁棒性）的一般理论，研究双曲性和切换流形同结构稳定性的关系；.3、研究混合系统的分叉与混沌新问题,包括切换流形(Switching manifold)的扰动对系统动态行为的影响，以及切换流形的变化对系统动力学影响的某些一般规律，并应用于混合（哈密顿或拉格朗日）系统的动力学研究；4、研究高维混合系统的广义Hopf分叉和其它新的分叉现象。

1、对双足被动行走的最基本模，运用型异构计算方法进行计算，揭示了其内在分形结构，发现了新的稳定周期3步态、周期4步态等更多的周期步态以及由此产生的倍周期分叉导致混沌现象，并运用现代动力系统拓扑马蹄理论证明了相应参数下混沌步态的存在性。2、对2维分段光滑的混合系统在具有多个切换模态的情形下得到依赖于切换模式的广义Hopf分叉；对若干条切换边界相交于一点时一般的含参数平面分段光滑动力系统得到了依赖于实特征值诱导的广义Hopf分叉。3、对于只有一条切换边界的一般的平面分段线性动力系统，得出相应系统的特征参数空间被连续函数分割成以下几部分：无周期轨部分、含1个极限环部分、含2个极限环部分、含3个极限环部分，由此对国际上对该问题的一个猜测给出否定的回答。4、建立了一类三维分段线性系统混沌存在性的Shilnikov理论，并在此基础上给出了具体的基于分段线性系统的混沌电路设计方法. 5 、研究了一类具有切换延迟的切换系统的稳定性和指数稳定性。在本基金的资助下， 课题组在国际高水平杂志上（包括在线）发表(SCI)论文13 篇，国内核心刊物上发表论文8篇，较好的完成了本课题的研究。