分片等距系统若干动力学问题的研究

Piecewise isometries (PWIs for short), derived directly from electronic and information engineering, are a class of typical singular systems. We will focus on some topics of this class of systems from pure mathematical views in this project. At first, we will discuss the complex dynamical behavior of the sub-shift maps induced from PWIs. Based on characterizing the intrinsic relation between subshifts and PWIs, we expect to characterize better the complex behavior of PWIs ( this kind of systems usually have chaotic behavior). Secondly, using group theory and matrix iteration method, we discuss the global attraction and repelling for PWIs of higher dimensional Euclidean spaces, and try to generalize the method and theory of global attraction and repelling of planar PWIs to general higher dimensional cases. Finally, we will study the existence of complexity of PWIs and general calculation methods. Based on this, we further characterize the relation between the complexity and complex behavior of the systems. In particular, we will establish some useful inequalities, which are helpful to calculate the system complexity, related to the number of cells and the number of iterations by the index number theory. The above problems play very important roles in the field of PWIs, we hope to further improve the theoretical system of the PWIs by investigating the project.

分片等距系统（Piecewise Isometries,缩写PWIs）是一类典型的奇异系统，它的很多模型直接来源于电子与信息工程中的一些实际问题。本项目着重研究该类系统中的几个数学理论问题：研究 PWIs 所诱导出的子移位映射的复杂动力学行为，在建立子移位映射与PWIs的动力学关系的基础上，更好地刻划PWIs本身的复杂行为（该类系统往往具有混沌行为）；采用群论与矩阵迭代的理论和方法，讨论高维欧氏空间上 PWIs 的全局敛散性，力图把平面PWIs全局敛散性的相关结果推广到一般高维的情形；讨论PWIs的复杂度存在性的理论问题和一般计算方法，并刻划复杂度与系统复杂性的具体关系，具体采用代数拓扑中的示性数等相关理论，建立元胞（Cell）个数与迭代次数的相关不等式，从而可以计算系统的复杂度。这些问题都是 PWIs领域中非常关键的理论问题，故该课题的研究可进一步完善PWIs的理论体系。

本项目对PWIs复杂度、例外集分形结构，PWIs中的周期性以及相关领域的问题进行了比较深入的研究，取得了预期的阶段性成果。其一、我们在复杂度方面取得了较为突出的成果，从理论上证明了特定参数Overflow映射的复杂度为1，进一步证实了之前学者的猜想。其二、我们刻画了PWIs中动力学例外集的分形结构和相似维数，重要的是在该研究工作采用的方法新颖，刻画简单。其三、在前期研究基础上，进一步研究了PWIs的周期性问题，对PWIs中可允周期序列的允字条件进行了刻画，并给出了周期长度的一般性表述。其四、为了该项目的顺利实施，项目组成员在讨论的基础上还对项目的相关领域进行了有益的研究，取得了一定成果，为PWIs后续研究工作注入了新的活力，比如代数理论的研究就为PWIs中群理论以及高维系统的研究工作提供了新的思路和方法。.本项目资助发表学术论文6篇，并由3篇待发表。项目负责人以该项目为依托于2018年10月至2019年9月赴英国埃克塞特大学为期1年的访学。1名本科生在项目负责人的指导下完成与该项目相关的毕业论文并获得学士学位，1名本科生正在撰写该项目密切相关的毕业论文。本项目总资主经费310,000元，实际支出46,415元。