反应-对流-扩散方程的一些定性问题

本项目旨在研究具鲜明物理背景的反应-对流-扩散方程，它来源于物理学、化学、微分几何以及生物群体动力学生态学等许多学科领域中广泛存在着的含源的对流-扩散过程。本项目主要研究这类方程解的一些定性理论，包括行波解、Backward相似解、分界面及渐近性理论，其中很多都是目前被人们所关注的热点问题。如在行波解问题中，多维行波解的渐近稳定性、Sharp波的profile、以及时滞问题的行波解这些都在本项目的研究范围之内。我们将着重探讨反应源、对流和扩散对解的性质的影响以及它们之间可能存在着的制约关系。源、对流和扩散所包含的多重非线性性与退化性、奇异性使得模型更接近于实际，同时也引起了本质性的研究困难。因此我们既需要经典的数学理论与研究工具，也需要探索新的研究思路与手段。本项目的研究不仅能对于解释某些实际现象提供一定的参考价值，而且研究方法与结果也将在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论

本项目主要研究具鲜明物理背景的反应-对流-扩散方程解的一些定性理论，在本项目研究期间, 项目组按照研究计划开展工作, 取得了一些预期的研究成果。研究内容主要包括如下几个方面：对一类经典的散度型扩散方程，我们对各类非线性指标的进行完整分类， 完整解决了非平凡周期解的存在性问题, 并把结论推广到散度型扩散方程; 首次给出了时滞退化奇异扩散方程行波解的研究框架，给出了这类方程有限性、半有限性以及无限性以及sharp波的存在性结果, 并精确给出了半有限和无限行波在无穷远处的收敛速率；除此之外，我们还研究了这类方程的等候时间、相似解等相关问题。本项目的研究不仅能对于解释某些实际现象提供一定的参考价值，而且研究方法与结果也将在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论。